1、五与圆有关的比例线段A组1.如图所示,O的两条弦AB,CD相交于点E,AC和DB的延长线交于点P,下列结论成立的是()A.PCCA=PBBDB.CEAE=BEEDC.CECD=BEBAD.CEED=BEEA解析由割线定理可知D项正确.答案D2.(2016辽宁大连高二检测)如图,正方形ABCD内接于O,E为DC的中点,直线BE交O于点F,若O的半径为2,则BF的长为()A.32B.22C.655D.455解析由于O的半径为2,则CD=2,因此DE=CE=1,BE=5.由相交弦定理,得DECE=BEEF.所以EF=55,故BF=655.答案C3.(2016河北石家庄高二检测)如图,从O外一点A引圆
2、的切线AD和割线ABC,已知AD=23,AC=6,O的半径为3,则圆心O到AC的距离等于()A.5B.13C.4D.5解析由切割线定理可得AD2=ABAC,所以(23)2=(6-BC)6,解得BC=4,于是圆心O到AC的距离等于32-422=5.答案A4.(2016陕西咸阳高二检测)如图所示,PC切O于A,PO的延长线交O于B,BC切O于B,若ACCP=12,则POOB等于()A.21B.11C.12D.14解析连接OA,则OAPC,PAOPBC,POPC=OABC,即POOA=PCBC.又OA=OB,ACCP=12,设AC=x,则CP=2x,CA=x=BC,POOA=2xx=2,POOB=2
3、1.答案A5.如图,ACB=90,CDAB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则()A.CECB=ADDBB.CECB=ADABC.ADAB=CD2D.CEEB=CD2解析CDAB,以BD为直径的圆与CD相切,CD2=CECB.在RtABC中,CD为斜边AB上的高,则CD2=ADDB,因此,CECB=ADDB.答案A6.如图,P为O外一点,过P点作O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB=.解析由题意知PA=PB.PA切O于点A,由切割线定理可得QA2=QCQD=1(1+3)=4.QA=2,PA=22=4=PB.答案47.(2016
4、河南平顶山高二月考)在半径为12 cm的圆中,垂直平分半径的弦的长等于.解析如图所示,延长AO交圆于M,由相交弦定理得PAPM=PCPD.CD为线段OA的垂直平分线,PD2=PAPM.又PA=6 cm,PM=6+12=18(cm),PD=63 cm,CD=2PD=123 cm.答案123 cm8.(2016广东深圳高二检测)如图所示,AB为O的直径,CB切O于B,CD切O于D,交BA的延长线于E,若EA=1,ED=2,则BC的长为.解析CE为O的切线,D为切点,ED2=EAEB.又EA=1,ED=2,EB=4.CB,CD均为O的切线,CD=CB.在RtEBC中,设BC=x,则EC=x+2.由勾
5、股定理,得EB2+BC2=EC2,即42+x2=(x+2)2,解得x=3,故BC=3.答案39.如图,PA与O相切于点A,D为PA的中点,过点D引割线交O于B,C两点,求证:DPB=DCP.证明因为PA与圆相切于点A,所以DA2=DBDC.因为D为PA中点,所以DP=DA.所以DP2=DBDC,即PDDC=DBPD.又BDP=PDC,所以BDPPDC.所以DPB=DCP.10.(2016广西南宁高二检测)如图,在RtABC中,C=90,BE平分ABC交AC于点E,D在AB上,DEEB于E.(1)求证:AC是BDE的外接圆的切线;(2)若AD=6,AE=62,求BC的长.(1)证明如图,取BD的
6、中点O,连接OE.DEBE,BD是BDE外接圆的直径,OE是O的半径.BE平分ABC,ABE=EBC.OE=OB,ABE=BEO,BEO=EBC,EOBC.C=90,AEO=90,故AC是O的切线.(2)解由(1),得AE2=ADAB,(62)2=6AB,解得AB=12.OE=OD=3,AO=9.EOBC,AOAB=OEBC,即912=3BC,故BC=4.B组1.如图所示,AD,AE,BC分别与O切于点D,E,F,延长AF与O交于另一点G,给出下列三个结论:AD+AE=AB+BC+CA;AFAG=ADAE;AFBADG.其中正确结论的序号是()A.B.C.D.解析从圆外一点引圆的两条切线,切线
7、长相等,CE=CF,BF=BD.AD+AE=AB+BC+CA,故正确.AD=AE,AE2=AFAG,AFAG=ADAE,故正确.连接FD,根据切割线定理知AFDADG.故不正确.故正确结论的序号是.答案A2.导学号19110042(2016黑龙江大庆高二检测)如图所示,PA为O的切线,A为切点,PA=8,割线PCB交圆于点C,B,且PC=4,ADBC于点D,ABC=,ACB=,连接AB,AC,则sinsin的值等于()A.14B.12C.2D.4解析由切割线定理可得PA2=PCPB,所以PB=824=16.在ABC中,由正弦定理可知sinsin=ACAB.又因为APC=BPA,PAC=PBA,
8、所以PACPBA,从而ACBA=APBP=816=12,故sinsin=12.答案B3.如图,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=2a3,OAP=30,则CP=.解析AP=PB,OPAB.又OAP=30,AP=32a.由相交弦定理得CPPD=AP2,CP=AP2PD=34a232a=98a.答案98a4.(2016重庆万州高二检测)如图,O为ABC的内切圆,AC,BC,AB分别与O切于点D,E,F,C=90,AD=3,O的半径为2,则BC=.解析如图所示,分别连接OD,OE,OF,则OE=OD,CD=CE,OEBC,ODAC,四边形OECD是正方形.设BF=x,则
9、BE=x,又AD=AF=3,CD=CE=2,(2+x)2+52=(x+3)2,解得x=10,故BC=12.答案125.如图所示,直线AB经过O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,O交直线OB于E,D两点,连接EC,CD.(1)求证:直线AB是O的切线;(2)若tanCED=12,O的半径为3,求OA的长.(1)证明如图所示,连接OC,OA=OB,CA=CB,OCAB.直线AB是O的切线.(2)解ED是O的直径,ECD=90.在RtECD中,tanCED=CDEC=12.BC是O的切线,BC2=BDBE,BCD=CED.又CBD=EBC,BCDBEC.BDBC=CDEC=12.设OA=x,则B
10、E=BO+OE=x+3,BD=OB-OD=x-3,于是BC=2BD=2(x-3),代入BC2=BDBE,2(x-3)2=(x-3)(x+3),解得x=5或x=3(舍去).OA=5.6.导学号19110043(2016云南昆明高二检测)如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.(1)证明因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCB=A.由题设知BCFA=DCEA,故CDBAEF,所以DBC=EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90,所以CBA=90,因此CA是ABC外接圆的直径.(2)解连接CE,如图.因为CBE=90,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DBDA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为12.
