1、2011高考抢分必备数学专题三 数列【选题理由】：数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2010年全国及19省市高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%，大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考
2、查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题.展望2011年高考，数列仍是重点考查内容之一，估计试题经常在数列的知识、函数知识、不等式的知识和解析几何知识等的交汇点处命题，使数列试题呈现综合性强、立意新、角度新、难度大的特点.体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消去法、归一法、分离变量法、归纳猜想证明等基本的数学方法，在复习数列单元时，一定要以等差、等比数列为载体，以通项公式、求和公式为主线，注重基础，联系实际.通过对试题的练习，提高其运
3、算能力、思辨能力、解决实际问题的能力，才能以不变应万变，在高考中立于不败之地.【押题1】已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：（1）求通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数.【押题指数】【解析】（1）设数列的公差为,由题意得： 解得 或 （舍去）所以：.（2）,由于 是一等差数列故对一切自然数都成立即： 解得 或 （舍去）所以.【方法与技巧】本题考查了等差数列的基本知识，第二问，判断数列是等差数列的条件，要抓住它的特征，充分应用等差数列的判断条件，转化为恒成立问题。解答数列问题,必须首先熟记等差与等比数列的相关公式.【押题2】已知数列的前项和，且（I）求；（II）求证：数列是等差数
4、列；（III）试比较与的大小，并说明理由 13分当时，即，即 14分【方法与技巧】本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等差、等比数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力【押题3】已知数列的前n项和为，对于一切的正整数n，点都在函数 的图象上，且过点的切线的斜率为（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前n项和；（）设集合，等差数列的任何一项，其中是中的最小数，且，求的通项公式【押题指数】【解析】（）由题意，得当时， 分当时， 分数列的通项公式为 分（），即 分， 7分 8分（）由题意， 易知中的数是正偶数，且最小数是，即 11分又是等差数列，设其公差为，则必为
5、偶数由题意，得 13分即的通项公式为 14分【方法与技巧】数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.【押题4】直线过点P（斜率为，与直线：交于点A，与轴交于点B，点A，B的横坐标分别为，记.（）求的解析式；（）设数列满足，求数列的通项公式；（）在（）的条件下，当时，证明不等式.【押题指数】【解析】（）直线的方程为，令，得由，得，因此，的解析式为： （）时，,即当时，数列是以0为首项的常数数列，则当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，解得综合、得【方法与技巧】数列与解析几何综合题，是今后高考命题
6、的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解【押题5】已知函数f（x）2x1，g（x）x，xR，数列，满足条件：a11，f（）g（），nN（）求证：数列1为等比数列；（）令，是数列的前n项和，求使成立的最小的n值.【押题指数】【解析】（）由题意得，3分 又，4分所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列()解：由知，7分故9分10分由，且，解得满足条件的最小的值为12分【方法与技巧】递推公式为（其中p，q均为常数，），把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。在数列求和中常见的方法有公式法、分组法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等，方法的选择由
7、数列通项公式的特点来决定.【押题6】已知数列满足（1）求证：数列（）是等比数列；（2）设，数列的前n项和，求证：对任意的， 【押题指数】【解析】（1） ，又，所以数列（）是以3为首项，-2为公比的等比数列 （6分）（2）由（1）知，当，则=又对任意的， （12分）【方法与技巧】本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型【押题7】已知函数。（1）数列满足，若对任意恒成立，求的取值范围；（2）数列满足，记，为数列前项和，为数列的前项积，求证：。【押题指数】【解析】（1
8、） 为等比数列 从而 故 6分（2） ，又由得 。13分【方法与技巧】本题考查等比数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。考查数列的相关知识，具有一定难度，与不等式的证明相结合，带有一定的技巧性【押题8】各项均不为零的数列，首项，且对于任意均有（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：当时， 【押题指数】【解析】（1）由得，则所以是以3为公比，为首项的等比数列 4分 （2）当时，令则所以 13分【方法与技巧】这个题目通过代换转化为形如a=p a+q（p1，pq0）型的递推式，通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可
9、得pkk=q，即k=，从而得等比数列a+k达到解决问题的目的。【押题9】已知函数的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称（1）求函数的解析式；（2）若数列满足：，求数列的通项；（3）若数列的前项和为,判断与2的大小关系，并证明你的结论【押题指数】【解析】（1） 因为函数 的图象过原点，所以c =0，即又函数的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以。5分（2）由题意，开方取正得：，即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即。9分（3）当n2时，所以故。13分【方法与技巧】形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。(取倒数法) 。从以上分析可看出，数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的
10、压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法.其中的高考热点探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中.【押题10】已知函数=ln(1+x)-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行（）求实数a的值；（）若方程=在2，4上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828）（）设常数p1，数列an满足（nN*），a1=lnp，求证：【押题指数】【解析】（I） ， 由题知，解得a=13分（II）由（I）有f(x)=ln(1+x)-x， 原方程可整理为4ln(1+x)-x=m令g(x)=4l
11、n(1+x)-x，得， 当3x4时，当2x3时，即g(x)在2，3上是增函数，在3，4上是减函数， 在x=3时g(x)有最大值4ln4-36分 g(2)=4ln3-2，g(4)=4ln5-4， g(2)-g(4)=2由9e24.4625，于是 g(2)-1）有，显然0，当x(0，+)时，当x(-1，0)时，在(-1，0)上是增函数，在上是减函数在(-1，+)上有最大值，而=0， 当x(-1，+)时，0，因此ln(1+x)x(*)11分由已知有pan，即p-an0，所以p-an-1-1 an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an)， 由（*）中结论可得an+1-anp-1-an，即
12、an+1p-1(nN*)当n2时，-an=ln(p-an)lnp-(p-1)=0，即an当n=1，a2=a1+ln(p-lnp)， lnp=ln(1+p-1)p-1， a2a1+lnp-(p-1)=a1，结论成立 对nN*，an+1an【方法与技巧】此类题目除了考查基础知识之外，还考查了我们对教材中各知识间的联系的理解与综合运用，难度较大.但题目一般以简单的设问开始，因此考生还是可以拿到该题的部分分数的.解这种题目的能力不是短期能培养出来的，要顺其自然，相信功到自然成.【押题11】设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的
13、前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.【押题指数】【解析】（1），令，有，.再令，有，4分【押题12】）已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且 （1）若k=1，求数列的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，求。【押题指数】【解析】（1）因为所以其值域为于是又（2）因为所以法一：假设存在常数，使得数列，得符合。法二：假设存在常数k0，使得数列满足当k=1
14、不符合。当，则当 （3）因为所以的值域为于是则又则有进而有【方法与技巧】探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求。总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.备选题【押题1】设等比数列的首项为a1，公比为q，且q0，q1.（1）若a1=qm，mZ，且m1，求证：数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项；（2）若数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项，求证：存在整数m，且m1，使得a1=qm.【押题指数】【解析】（1）设为等比数列中不同的两项，由，得2分又，且，所以所以是数列的第项6分（2）
15、等比数列中任意不同两项之积仍为数列中的项， 令，由，得，令整数，则9分下证整数若设整数，则令，由题设，取，使 ，即，所以，即12分所以q0，q1，与矛盾!所以15分【押题2】已知是一个公差大于0的等差数列，且满足,.（1）求数列的通项公式；（2）若数列和数列满足等式：，求数列的前项和【押题3】曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为.（）求；（）设，求数列的前n项和【押题指数】【解析】（）直线的方程为,令,得.（）,【押题4】已知数列中，a1=1，且满足递推关系（1）当m=1时，求数列的通项 （2）当时，数列满足不等式恒成立，求m的取值范围；（3）在时，证明【押题指数】【解析】（1）m=1，由，
16、得：是以2为首项，公比也是2的等比例数列。于是3分（1） 由依题意，有恒成立。，即满足题意的m的取值范围是 （3）时，由（2）知设数列故9分即在成立12分【押题5】已知各项全不为零的数列的前项和为,且,（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意的不小于2的正整数，不等式都成立。【押题指数】【解析】由（1）S1=a1, 知a1=1 1分 当n2时，an=Sn-Sn-1=即（n-2）an-(n-1)an-1+1=0 3分以（n+1）代替n,得（n-1）an+1-nan+1=0 两式相减得 an+1-2an+an-1=0 an为等差数列5分 a1=1,a2=2, an=n 6分（2）由（1）知不等式
17、 lnan+1+lnanln(n+1)-lnnln(1+)8分设x=只需证 ln(1+x)x2-x3 即x3-x2+ln(1+x)0令h（x）=x3-x2+ln(1+x)则h(x)=3x2-2x+在0，+)上恒正h(x)在0，+上单调递增 当x(0, +)时，恒有h(x) h(0)=0， 即得证.13分【押题6】已知数列中, 在处取得极值.(1) 证明数列是等比数列, 并求出数列的通项公式;(2) 记, 数列的前项和为, 求使的的最小值;【押题指数】【解析】（1） 由题知，得所以，即是以2为首项，2为公比的等比数列；（2） 所以叠加得， ， 即，n-1+所以，即n 的最小值为1006.【押题7
18、】已知数列的各项均是正数，其前n项和为，其中p为正常数，且， （I）求数列的通项公式； （II）设数列项和为，是否存在正整数m，使得对于恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由； （III）试证明：当【押题指数】【解析】（1）由题设知 1分即，3分可见，数列的等比数列， （2） 6分依题意要使恒成立，只需解得所以m的最小值为18分 （3） 9分由柯西不等式有：所以 11分又 13分 （其它解法仿照给分）【押题8】已知数列的首项前n项和为且 （I）设证明数列是等比数列； （II）设【押题指数】【解析】（I） 当 两式相减得 3分 从而 即 故 是公比为3，首项为3的等比数列6分 （II
19、）由（I）知 得 则10分 12分【押题9】某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第天的利润（单位：万元，），记第天的利润率，例如 （1）求的值；（2）求第天的利润率；（3）该商店在经销此纪品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率。【押题指数】【解析】（1）当时，;当时，（2分） （2）当时，（4分）当,第n天的利润率 （8分） （3）当时，是递减数列，此时的最大值为;当时，（当且仅当,即时，“=”成立）又,时， 该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为【押题10】已知点满足，且点的坐标是.()求过两点的直线的方程，并证明点 在直线上；()求使不等式对所有成立的最大实数.本卷第22页（共22页）
