1、2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （文理合卷） （考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1方程组的增广矩阵是_.2. 已知幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是_.3（理）若为第四象限角，且，则_.（文）若，则_.4若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值是 .5函数的部分图像如右图所示，则 _.6（理）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角的大小为_.（文）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角的大小为_.(结果用反三角函数值表
2、示)7（理）不等式的解为 .（文）不等式的解为 .8高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)9如图所示的程序框图，输出的结果是_.10（理）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，若，则公比的取值范围是 .（文）数列的通项公式，前项和为，则=_.11. （理）若平面向量满足 且,则可能的值有_个.（文）边长为1的正方形中，为的中点，在线段上运动，则的取值范围是_.12（理）在中， ，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为_.（文）函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，则实数的
3、取值范围是_.13（理）函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_.（文）若平面向量满足 且,则的最大值为 .14已知线段的长度为，点依次将线段十等分.在处标，往右数点标，再往右数点标，再往右数点标(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照的方向顺序，不断标下去，（理）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_. （文）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_. 二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则
4、一律得零分.15下列排列数中，等于的是 （ ） (A) (B) (C) (D) 16在中，“”是“”的 （ ）(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件17若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是 （ ）(A) (B) (C) (D) 18（理）对于直角坐标平面内的点(不是原点),的“对偶点”是指：满足且在射线上的那个点. 若是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点” （ ）(A) 一定共线 (B) 一定共圆 (C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆（文）对于直角坐标平面内的点（不是原点），的“对偶点”是指：满足
5、且在射线上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形 （ ） (A) 一定为圆 (B) 一定为椭圆 (C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分12分) 已知集合，实数使得集合满足，求的取值范围.20(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数=. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)求的反函数，并求使得函数有零点的实数的取值范围. 21(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）某种型号
6、汽车四个轮胎半径相同，均为，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为 (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路（如图(1)所示，其中()）,且前轮已在段上时，后轮中心在位置；若前轮中心到达处时，后轮中心在处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在和处时与地面的接触点分别为和，且,. (其它因素忽略不计)(1)如图(2)所示，和的延长线交于点，求证：(cm)；(2)当=时，后轮中心从处移动到处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度.
7、 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑形成顶角为的等腰三角形，且，如果地面上有()高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).31. 当轮胎与、同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为；(2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求的最大值. (精确到1cm).22(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.（理）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点），过点作一直线交椭圆于、两点 .(1)求椭圆的方程；(2)求面积的最大值；(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的
8、位置关系，并说明理由.（文）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点）, 过点作一斜率为的直线交椭圆于、两点(其中点在轴上方，点在轴下方) .(1)求椭圆的方程；(2)若，求的面积；(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.23(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.（理）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数,公比为正整数的无穷等比数列的子数列问题. 为此，他任取了其中三项.(1) 若成等比数列
9、,求之间满足的等量关系；(2) 他猜想：“在上述数列中存在一个子数列是等差数列”，为此，他研究了与的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；(3) 他又想：在首项为正整数,公差为正整数的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.（文）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.(1) 若成等比数列,求的值；(2) 在, 的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，
10、使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数 列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？参考答案12 填空题：（每题4分）1. 2. 3. （理） （文） 4. 8 5. 2sin 6. （理）arctan （文） arctan2 7. （理）x0（文）x0 8. 9. 1 10. （理）0q1（文）11. （理） 3 （文） 12. （理） （文）0m2-2 13. （理） 1（文） 14
11、. （理） 5（文）513 选择题：（每题5分）15. C 16. B 17.A 18. （理）C（文）A14 解答题19. 解：A=(3,4).2分 a5时，B=，满足AB；.6分 a5时，B=，由AB，得a4，故4a ,从而上述猜想不成立. .10分(3)命题:对于首项为正整数，公差为正整数的无穷等差数列，总可以找到一个无穷子数列,使得是一个等比数列. . . .13分此命题是真命题,下面我们给出证明. 证法一: 只要证明对任意正整数n,都在数列an中.因为bn=a(1+d)n=a(1+d+d2+dn)=a(Md+1)，这里M=+d+dn-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd是an中
12、的第aM+1项，证毕. .18分证法二：首项为,公差为( )的等差数列为,考虑数列中的项: 依次取数列中项,则由,可知,并由数学归纳法可知,数列为的无穷等比子数列. .18分（文）解:(1)由a32=a1a5， .2分即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0. .4分 (2) 解：an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列. .7分因为bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+3n-1=1+3M, .9分这里M=+3+3n-2为正整数，所以,bn=1+3M =1+3 (M+1)-1是an中的第M+1项，得证. .11分 (注：bn的通项公式不唯一) (3) 该命题为假命题. .12分由已知可得,因此,又,故 , .15分由于是正整数，且，则,又是满足的正整数，则,所以， ,从而原命题为假命题. .18分
