1、2016-2017学年河南省洛阳市新安一中高三（上）11月月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知R是实数集，则NRM=（）A（1，2）B0，2CD1，22i为虚数单位，则=（）AiB1CiD13在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则=（）A（2，4）B（2，4）C（3，5）D（3，5）4设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量=（1，1），=（2，1），若=+（，为实数），则的最大值为（）A4B3C1D25如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2
2、，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值为（）ABCD6已知等差数列an满足a3+a13a8=2，则an的前15项和S15=（）A60B30C15D107若，则cos+sin的值为（）ABCD8已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，若A=45，AC=4，则ABC最短边的边长等于（）ABCD9等比数列an中，a3=6，前三项和S3=4xdx，则公比q的值为（）A1BC1或D1或10已知x0，由不等式x+2=2，x+=3=3，可以推出结论：x+n+1（nN*），则a=（）A2nB3nCn2Dnn11对正整数n，有抛物线y2=2（2n1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线
3、于An，Bn两点，设数列an中，a1=4，且an=（其中n1，nN），则数列an的前n项和Tn=（）A4nB4nC2n（n+1）D2n（n+1）12已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数f（x），f（0）0，且f（x）的值域为0，+），则的最小值为（）A3BC2D二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=14已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1=2016，则S2017=15多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为cm216连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2和4，M、N分别为
4、AB、CD的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：MN的最大值为5 弦AB、CD可能相交于点MMN的最小值为1 弦AB、CD可能相交于点N其中真命题为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值18在ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项（1）求B的大小；（2）若a+c=，求ABC的面积19如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，Q为AD的中点（1）若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD；
5、（2）点M在线段PC上，PM=PC，若平面PAD平面ABCD，PA=PD=AD，三棱锥MBCQ的体积为，求点Q到平面PAB的距离20已知数列an的首项a1=2，且an=2an11（nN+，n2）（1）求证：数列an1为等比数列；并求数列an的通项公式；（2）求数列nann的前n项和Sn21如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，ABBC，AFAC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2（）当GB=GF时，求证：EG平面ABC；（）求二面角EBFA的余弦值；（）是否存在点G满足BF平面AEG？并说明理由22已知函数f（x）=1n（x1）k（x1）+1（1）求函数f（x）
6、的单调区间；（2）若f（x）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且n1）2016-2017学年河南省洛阳市新安一中高三（上）11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知R是实数集，则NRM=（）A（1，2）B0，2CD1，2【考点】交集及其运算；补集及其运算；函数的值域；其他不等式的解法【分析】先化简2个集合M、N到最简形式求出M，N，依照补集的定义求出CRM，再按照交集的定义求出NCRM【解答】解：M=x|1=x|x0，或x2，N=y|y=y|y0 ，故有 NCRM=y|y
7、0 x|x0，或x2=0，+）（，0）（2，+）=0，2，故选 B2i为虚数单位，则=（）AiB1CiD1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案【解答】解：，则=i2007=（i4）501i3=i故选：A3在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则=（）A（2，4）B（2，4）C（3，5）D（3，5）【考点】平面向量的坐标运算【分析】根据题意，画出图形，结合图形以及平行四边形中的向量相等关系，求出【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；平行四边形ABCD中， =（2，4），=（1，3），=（1，1），=+=
8、+=（3，5）故选：D4设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量=（1，1），=（2，1），若=+（，为实数），则的最大值为（）A4B3C1D2【考点】简单线性规划【分析】根据向量线性运算的坐标公式，得到，由此代入题中的不等式组，可得关于、的不等式组作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：向量=（1，1），=（2，1），若=+（，R），P（x，y）满足，代入不等式组组，得，设=x，=y，则不等式等价为，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），设z=xy，即y=xz，平移直线y=xz，则当直线y=xz经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由，解得，即B（3，1），
9、此时z=xy=3（1）=3+1=4，即的最大值为4，故选：A5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值为（）ABCD【考点】直线与平面所成的角【分析】长方体ABCDA1B1C1D1中，由A1A平面ABCD，推导出ACA1是AC1与平面ABCD所成角，由此能求出结果【解答】解：如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，AC=2，A1C=3，A1A平面ABCD，ACA1是AC1与平面ABCD所成角，sinACA1=故选：A6已知等差数列an满足a3+a13a8=2，则an的前15项和S15=（）A
10、60B30C15D10【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列通项公式求出a1+7d=a8=2由此能求出an的前15项和S15【解答】解：等差数列an满足a3+a13a8=2，a1+2d+a1+12d（a1+7d）=2，即a1+7d=a8=2an的前15项和S15=15a8=30故选：B7若，则cos+sin的值为（）ABCD【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论【解答】解：，故选C8已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，若A=45，AC=4，则ABC最短边的边长等于（）ABC
11、D【考点】余弦定理【分析】由题意判断得到a为最短边，利用正弦定理即可求出值【解答】解：ABC中，A，B，C成等差数列，A+C=2B，又A+B+C=180，3B=180，解得B=60；又A=45，C=75；又AC=b=4，由=，得a=；ABC最短边a的边长等于故选：C9等比数列an中，a3=6，前三项和S3=4xdx，则公比q的值为（）A1BC1或D1或【考点】定积分；等比数列的前n项和【分析】根据题意，直接找出被积函数4x的原函数，直接计算在区间0，3上的定积分即可得S3，再结合等比数列的性质求得公比q的值即可【解答】解：S3=034xdx=18，2q2q1=0q=1或，故选C10已知x0，由
12、不等式x+2=2，x+=3=3，可以推出结论：x+n+1（nN*），则a=（）A2nB3nCn2Dnn【考点】归纳推理【分析】根据题意，分析给出的等式，类比对x+变形，先将其变形为x+=+，再结合不等式的性质，可得为定值，解可得答案【解答】解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简消去根号，得到右式；对于给出的等式，x+n+1，要先将左式x+变形为x+=+，在+中，前n个分式分母都是n，要用基本不等式，必有为定值，可得a=nn，故选D11对正整数n，有抛物线y2=2（2n1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于An，Bn两点，设数列an中，a1=4，且an
13、=（其中n1，nN），则数列an的前n项和Tn=（）A4nB4nC2n（n+1）D2n（n+1）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】设直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y22（2n1）ty4n（2n1）=0，设An（xn1，yn1），B（xn2，yn2），则=（t2+1）yn1yn22nt（yn1+yn2）+4n2，由此利用根与系数的关系能求出数列的前n项和为2n（n+1）【解答】解：设直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y22（2n1）ty4n（2n1）=0，设An（xn1，yn1），B（xn2，yn2），则=xn1xn2+yn1yn2=（t2+1）yn1yn22nt+（y
14、n1+yn2）+4n2，由根与系数的关系得yn1+yn2=2（2n1）t，yn1yn2=4n（2n1），代入式得=4n（2n1）t2+4n2=4n4n2，故（n1，nN），故数列的前n项和为2n（n+1）故选：D12已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数f（x），f（0）0，且f（x）的值域为0，+），则的最小值为（）A3BC2D【考点】二次函数的性质【分析】由f（x）的值域为0，+），可得对于任意实数x，f（x）0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值【解答】解：f（x）的值域为0，+），即f（x）0恒成立，c=又f（x
15、）=2ax+b，f（0）=b0，f（1）=a+b+c=1+=1+=1+1+=2当且仅当4a2=b2时，“=”成立即的最小值为2故选：C二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，即可得到a的值【解答】解：y=，y=，曲线y=在点（2，3）处的切线的斜率k=2，曲线y=在点（2，3）处的切线与直线直线ax+y+1=0垂直，直线ax+y+1=0的斜率k=a=，即a=故答案为：14已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1=2016
16、，则S2017=0【考点】等差数列的前n项和【分析】推导出是首项为2016，公差为1的等差数列，由此能求出结果【解答】解：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则=An+B，成等差数列a1=2016，是首项为2016，公差为1的等差数列，=2016+20161=0，S2017=0故答案为：015多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为cm2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥PABC该几何体可以看成是两个底面均为PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，进而可得答案【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥PABC该几何体
17、可以看成是两个底面均为PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：PCD的面积S=44=8cm2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，故几何体的体积V=84=cm3，故答案为：16连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2和4，M、N分别为AB、CD的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：MN的最大值为5 弦AB、CD可能相交于点MMN的最小值为1 弦AB、CD可能相交于点N其中真命题为【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题【解答】解：因为直径是8，则正确
18、；错误易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OMMN，RtOMN中，有OMON，矛盾当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1故答案为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可根据同
19、角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据ABC面积公式得bc=156；直接求数量积由余弦定理a2=b2+c22bccosA，代入已知条件cb=1，及bc=156求a的值【解答】解：由cosA=，得sinA=又sinA=30，bc=156（）=bccosA=156=144（）a2=b2+c22bccosA=（cb）2+2bc（1cosA）=1+2156（1）=25，a=518在ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项（1）求B的大小；（2）若a+c=，求ABC的面积【考点】数列与三角函数的综合；解三角形【分析】（1）利用等差中项的性质，
20、知acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，由此结合三角函数的性质能够求出B（2）由（1）知B=，利用余弦定理得到=，再利用三角形面积公式，能求出ABC的面积【解答】解：（1）bcosB是acosC，ccosA的等差中项，acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，即sin（A+C）=2sinBcosB，A+C=B，0B，sin（A+C）=sinB0，cosB=，B=（2）由B=，得=，即，ac=2，19如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=6
21、0，Q为AD的中点（1）若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM=PC，若平面PAD平面ABCD，PA=PD=AD，三棱锥MBCQ的体积为，求点Q到平面PAB的距离【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定【分析】（）由PA=PD，得到PQAD，又底面ABCD为菱形，BAD=60，得BQAD，利用线面垂直的判定定理得到AD平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB平面PAD；（）由平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQAD，得PQ平面ABCD，利用三棱锥MBCQ的体积为，求出AB，利用等体积求点Q到平面PAB的距离【解答】（I）证
22、明：PA=PD，Q为AD的中点，PQAD，又底面ABCD为菱形，BAD=60，BQAD，又PQBQ=Q，AD平面PQB，又AD平面PAD，平面PQB平面PAD；（II）解：平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQAD，PQ平面ABCD，设AB=2a，则由题意，PQ=QB=a，PM=PC，M到平面QBC的距离为a，BCBQ，三棱锥MBCQ的体积为，=，a=1设点Q到平面PAB的距离为h，则PAB中，PA=AB=2，PB=，SPAB=由等体积可VPQBA=VQPAB得h=20已知数列an的首项a1=2，且an=2an11（nN+，n2）（1）求证：数列an1为等比数列；并求数列a
23、n的通项公式；（2）求数列nann的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）由an=2an11（nN+，n2），变形为：an1=2（an11）利用等比数列的定义及其通项公式即可得出（2）由（1）可得nann=n2n1再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出【解答】（1）证明：an=2an11（nN+，n2），变形为：an1=2（an11）又a11=1，数列an1为等比数列，首项为1，公比为2an1=2n1，可得an=2n1+1（2）解：数列nann=n2n1数列nann的前n项和Sn=1+22+322+n2n1，2Sn=2+222+323+（n1）2n1+n2n
24、，Sn=1+2+22+2n1n2n=n2n=（1n）2n1，解得Sn=（n1）2n+121如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，ABBC，AFAC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2（）当GB=GF时，求证：EG平面ABC；（）求二面角EBFA的余弦值；（）是否存在点G满足BF平面AEG？并说明理由【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）当GB=GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG平面ABC；（）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角EBFA的余弦值；（）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可
25、得到结论【解答】解：（）取AB中点D，连接GD，CD，又GB=GF，所以因为，所以，四边形GDCE是平行四边形，所以CDEG因为EG平面ABC，CD平面ABC所以EG平面ABC（）因为平面ABC平面ACEF，平面ABC平面ACEF=AC，且AFAC，所以AF平面ABC，所以AFAB，AFBC因为BCAB，所以BC平面ABF如图，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），是平面ABF的一个法向量设平面BEF的法向量n=（x，y，z），则，即令y=1，则z=2，x=2，所以n=（2，1，2），所以，由题知二面角EBFA为钝角，所
26、以二面角EBFA的余弦值为（）因为，所以BF与AE不垂直，所以不存在点G满足BF平面AEG22已知函数f（x）=1n（x1）k（x1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且n1）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；不等式的证明【分析】（1）由f（x）=1n（x1）k（x1）+1，知x1，由此能求出f（x）的单调区间（2）由f（x）0恒成立，知x1，ln（x1）k（x1）1，故k0f（x）max=f（1+）=ln0，由此能求出实数k的取值范围（3）令k=1，能够推导出lnxx1对x（0，+）恒成立取x=n2，得到，n2，由此能够证明且n1）【解答】解：（1）f（x）=1n（x1）k（x1）+1，x1，x1，当k0时，0，f（x）在（1，+）上是增函数；当k0时，f（x）在（1，1+）上是增函数，在（1+，+）上为减函数（2）f（x）0恒成立，x1，ln（x1）k（x1）+10，x1，ln（x1）k（x1）1，k0由（1）知，f（x）max=f（1+）=ln0，解得k1故实数k的取值范围是1，+）（3）令k=1，则由（2）知：ln（x1）x2对x（1，+）恒成立，即lnxx1对x（0，+）恒成立取x=n2，则2lnnn21，即，n2，且n1）2017年4月19日
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