江苏省南菁高级中学2020-2021学年高二数学上学期12月阶段性考试试题（强化班）.doc

1、江苏省南菁高级中学2020-2021学年高二数学上学期12月阶段性考试试题（强化班） 试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知等差数列中，. 若，则数列的前5项和等于( B )A. 186 B. 90 C. 45 D. 302若ab0，则下列不等式中一定成立的是( D ) A. Bab C. Dab3南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列

2、的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为( A ) A. 174B. 184C. 188D. 1604已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且，则不等式的解集为( A )ABCD解：设，则，是上的增函数，又，的解集为，即不等式的解集为故选A5设函数在R上有定义对于给定的正数，定义函数，取函数若对任意的，恒有，则( D )A的最大值为2B的最小值为2C的最大值为1D的最小值为16已知点为椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，如果的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为( A ) A B CD. 7过点与曲线相切的直线有且只有

3、两条，则实数的取值范围是( B )A(，e) B(e，) C(0，)D. (1，) 解：设切点为()，所以切线方程为:，代入得，即这个关于的方程有两个解.化简方程为，即，令()，在上单调递增，在上单调递减，g(1)0，所以，所以. 选B.8等差数列的前n项和为，已知，2019，则等于( B )A0 B2020 C4040 D2020二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9已知，且，则下列结论正确的为( ABD )A B C D10已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为(

4、 BCD )A数列是等差数列B数列是等比数列C数列的通项公式为D11已知抛物线C：y22px (p0)的焦点为F，准线为x1，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为A1，B1，P为线段AB的中点，O为坐标原点，则( ACD ) A线段AB长度的最小值为4 BA1FB1为锐角CA，O，B1三点共线DP的坐标可能为(3，2)解析：抛物线C的方程为y24x，线段AB长度的最小值为通径2p4，A正确；轴，同理，B错误；设直线与抛物线交于AB：，联立抛物线：，设 则，A，O，B1三点共线，C正确；设AB的中点， 则，取m1时，P(3，2)，D正确；答案：ACD12关于函数，

5、下列判断正确的是A是的极小值点；B函数有且只有1个零点；C存在正实数，使得恒成立；D对任意两个正实数，且，若，则.【分析】求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断；求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可；利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；令，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可解：函数的的定义域为，当时，单调递减，当时，单调递增，是的极小值点，即正确；，函数在上单调递减，且，函数有且只有1个零点，即正确；若恒成立，即恒成立令，则，令，则，当时，当时，在上，函数单调递增，上函数单调递减，在上函数单调递减，函数无最小值，

6、当时，不存在正实数，使得恒成立，即不正确；由单调性可知， 令，则，令，则，在上单调递减，则，时，令，由，得，则，故正确故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围是 14设抛物线的焦点为F，A、B两点在抛物线上，且A、B、F 三点共线，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点N，若|NF|，则_615已知正数满足，则的最小值为_16已知直线ya分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题10分) 已知椭圆E： 1(ab0)经

7、过点A(4，0)，其离心率为(1)求椭圆E的方程；(2)已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且F1PF2，求点P到y轴的距离解(1)因为椭圆E：1经过点A(4，0)，所以 1，解得a4又椭圆E的离心率e，所以c2 所以b2a2c24因此椭圆E的方程为 1 4分(2)方法一：由椭圆E的方程1，知F1(2，0)，F2(2，0)设P(x，y)因为F1PF2，所以0，所以x2y212 6分由解得x2 8分所以|x|，即P到y轴的距离为 10分方法二：由椭圆E的方程1，知c2，F1F24设P(x，y)因为F1PF2，所以PFPFF1F48 5分由椭圆的定义可知，PF1PF22a8，所以2PF

8、1PF2(PF1PF2)2(PFPF)16，所以三角形的面积SPF1PF24 6分又SF1F2|y|2|y|，所以2|y|4，所以|y| 代入1得，x2 8分所以|x|，即P到y轴的距离为 10分18. (本小题10分)已知递增的等差数列中，、是方程的两根，数列的前项和为，且()(1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和 解：(1)得，因为是递增，所以，解得，所以 2分在中，令得，当时，两式相减得 ，是等比数列，所以 5分(2) 两式相减得：，所以10分19. (本小题10分) 已知函数，R(1)若函数在上单调递减，在上单调递增，求的值；(2)求函数在上的最大值.解：(1)由，则因函

9、数在上单调递减，在上单调递增，得，当时，显然满足要求，所以 4分(2)因，当，即时，在上单调递增，则； 6分当，即时，在上单调递减，则； 7分当，即时，当时，；当时，所以在递减，在递增，则又，故当时，；当时，；当时， 9分综上，在上的最大值 10分20. (本小题12分) 已知数列的各项均为正数，其前n项和，.(1)求数列的通项公式；(2)设，称使数列的前n项和为整数的正整数n为“优数”，试求区间(0，2020)内所有“优数”的和S.解：(1)当时，又，所以，当时，整理得：，因为，所以有，所以数列是首项，公差的等差数列，数列的通项公式为；6分(2)由知：，数列的前项和为 ，令，则有，由知且，所

10、以区间内所有“优数”的和为.12分21. (本小题12分) 已知椭圆的长轴长为，焦距为. (1)求椭圆的方程；(2)过动点的直线交轴于点，交于点(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长线交于点.(i)设直线，的斜率分别为，证明为定值；(ii)求直线的斜率的最小值.解：(1)设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，所以椭圆的方程为. 2分(2)(i)设，由，可得 所以直线的斜率，直线的斜率.此时，所以为定值. 6分(ii)法1：设，直线的方程为，直线的方程为.联立 ，整理得.由，可得 ，所以，同理，. 8分所以， ，9分所以 由，可知，10分所以，等号当且仅当时取得. 由，在椭圆

11、:上得，此时，即，经检验，符合题意. 所以直线的斜率的最小值为. 12分法2：同上可得； 因为所以 下面同解法1.22. (本小题14分) 已知函数f(x)alnx，aR(1)若不等式f(x)1对任意x(1，)恒成立，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)x有两个极值点x1，x2(x1x2)，且h(x2)h(x1)，求a的取值范围解：(1)不等式f(x)1可化为alnx10记g(x)alnx1， 则g(x)0对任意x(1，)恒成立考察函数g(x)alnx1，x0，g(x)当a0时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递减，又g(1)0，所以g(2)g(1)0，不合题意； 2分当a0时，x

12、(0，)，g(x)0；x(，)，g(x)0，所以g(x)在(0，上单调递减，在，)上单调递增，若1，即a1时，g(x)在1，)上单调递增， 所以x(1，)时，g(x)g(1)0，符合题意； 4分若1，即0a1时，g(x)在1，)上单调递减， 所以当x(1，)时，g(x)g(1)0，不符合题意；综上所述，实数a的取值范围为1，) 6分(3)方法一：h(x)f(x)xalnxx，x0，h(x)1因为h(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，所以h(x)0，即x2ax10的两实数根为x1，x2，0x1x2，所以x1x2a，x1x21，a240，所以a2，0x11x2，从而h(x2)h(x1)(al

13、nx2x2)(alnx1x1)2(alnx2x2)2(x2)lnx2x2 9分 记m(x)2(x)lnxx，x1 则m(x)2(1)lnx(x)12(1)lnx0 (当且仅当x1时取等号)， 所以m(x)在1，)上单调递增，又m(e)， 不等式h(x2)h(x1) 可化为m(x2)m(e)，所以1x2e 12分 因为ax2，且yx在(1，)上递增，所以2ae， 即a的取值范围为(2，e 14分方法二：h(x)f(x)xalnxx，x0，h(x)1因为h(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，所以h(x)0，即x2ax10的两实数根为x1，x2，0x1x2，所以x1x2a，x1x21，a240，所以a2，0x11x2设t2(t1)，则x1t2x1a，t2x1，所以x1，at，x2t，从而h(x2)h(x1) 等价于h(t)(t)lntt，t1 9分记m(x)(x)lnxx，x1 则m(x)(1)lnx(x)1(1)lnx0 (当且仅当x1时取等号)，所以m(x)在1，)上单调递增又t1，m(e)，所以1te 12分因为at，且yx在(1，)上递增，所以2ae，即a的取值范围为(2，e 14分