1、学业分层测评（二十三） 函数模型的应用实例(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题 1某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y5x4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A200副B400副C600副D800副【解析】由5x4 00010x，解得x800，即日产手套至少800副时才不亏本【答案】D2某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为() 【导学号：97030143】A. B.C. D.1【解析】设年平均增长率为x，则有(1p)(1q)(1x)2，解得x1.【答案】D
2、3某种细胞在正常培养过程中，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下表：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到1 000个细胞时的时刻t最接近于()A200B220C240D260【解析】由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n2，令n1 000，则21 000，而2101 024，所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t最接近200分钟，故应选A.【答案】A4若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()AyBy(0.957 6)100xCyxDy1(0.042 4)【解析】设镭一年放射掉其质量的t%，
3、则有95.76%1(1t)100，t(0.957 6)，y(1t)x(0.957 6).【答案】A5根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是()A75,25B75,16C60,25D60,16【解析】由题意知，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60.将c60代入15，得A16.【答案】D二、填空题6某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按
4、每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_km.【解析】设出租车行驶x km时，付费y元，则y由y22.6，解得x9.【答案】97(2016深圳高一检测)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降到40 需要20分钟，那么此杯咖啡从40 降温到32 时，还需要_分钟【解析】设物体的初始温度是T0，经过一定时间
5、t后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降到40 需要20分钟，可得Ta24，T088，T40，可得：4024(8824)，解得h10，此杯咖啡从40 降温到32 时，可得：3224(4024)，解得t10.【答案】108(2016郑州模拟)为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过200元，则不予优惠；如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；如果超过500元，其中500元按第条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠辛云和她母亲
6、两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为_元【解析】依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)当f(x)168时，由1680.9187200，故此时x168；当f(x)423时，由4230.9470(200,500，故此时x470.两次共购得价值为470168638(元)的商品，5000.9(638500)0.7546.6(元)，故若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元【答案】546.6三、解答题9(2016西安模拟)如图3210所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为合理利用这块钢板
7、，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上图3210(1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值【解】(1)作PQAF于Q，所以PQ(8y)米，EQ(x4)米又EPQEDF，所以，即.所以yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)xyx(x10)250，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x10，所以当x4,8时，S(x)单调递增所以当x8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米10有时可用函数f(x)描述学习某学科知识的掌握程度其中x表示某学科知识的学习
8、次数(xN*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关. 【导学号：97030144】(1)证明：当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121，(121,127，(127,133当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科【解】(1)证明：当x7时，f(x1)f(x)，而当x7时，函数y(x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)0，故函数f(x1)f(x)单调递减，所以当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降(2)由题意可知0.115ln 0.85，整理得e0.05，
9、解得a620.506123,123(121,127，由此可知，该学科是乙学科能力提升1一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图3211所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数Vf(h)的图象大致是()图3211【解析】水深h越大，水的体积V就越大，故函数Vf(h)是一个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的【答案】D2某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为yxN，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为() 【导学号：97030145】A15B40C
10、25D130【解析】若4x60，则x1510，不合题意；若2x1060，则x25，满足题意；若1.5x60，则x40100，不合题意故拟录用人数为25人【答案】C3某地区发生里氏8.0级特大地震地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度(J)1.610193.210194.510196.41019震级(里氏)5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用yalg xb(其中a，b为常数)利用散点图可知a的值等于_(取lg 20.3进行计算)图3212【解析】由记录的部分数据可知x1.61019时，y5.0，x3.2101
11、9时，y5.2.所以5.0alg (1.61019)b，52alg (3.21019)b，得0.2alg ，0.2alg 2.所以a.【答案】4某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m6,8，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)求该厂分别投资生产A、B两种产品
12、的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案【解】(1)y110x(20mx)(10m)x20,0x200，且xN，y218x(8x40)0.05x20.05x210x40，0x120且xN.(2)6m8，10m0，y1(10m)x20为增函数，又0x200，xN.x200时，生产A产品有最大利润(10m)200201 980200m(万美元)，y20.05x210x400.05(x100)24 60,0x120，xN.x100时，生产B产品有最大利润460(万美元)，(y1)max(y2)max1 980200m4601 520200m，当6m7.6时，(y1)max(y2)max0，当m7.6时，(y1)max(y2)max0，当7.6m8时，(y1)max(y2)max0，当6m7.6，投资A产品200件可获得最大利润，当7.6m8，投资B产品100件可获得最大利润，m7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润
