1、上海市复兴高级中学高三数学第一轮复习数列一、知识梳理数列概念1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2、通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即. 3、递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，其中是数列的递推公式.4、数列的前项和与通项的公式 ； .5、 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6、 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列
2、，无界数列.递增数列:对于任何,均有.递减数列:对于任何,均有.摆动数列:例如: 常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数使.无界数列:对于任何正数,总有项使得.知识点： 一、等差数列1、等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.2、通项公式与前项和公式通项公式，为首项，为公差.前项和公式或.3、等差中项 ；如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4、等差数列的判定方法定义法：（，是常数）是等差数列；中项法：()是等差数列.5、等差数列的常用性质数列是等差数列，则数列、（是常
3、数）都是等差数列；在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.；(,是常数)；(,是常数，)若，则；若等差数列的前项和，则是等差数列；当项数为，则；当项数为，则.二、等比数列1、等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比. 2、通项公式与前项和公式通项公式：，为首项，为公比 .前项和公式：当时，当时，.3、等比中项：如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4、等比数列的判定方法定义法：（，是常数）是等比数列；中项法：()且是等比数列.5、等比数列的常用性质数列是
4、等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.若，则；若等比数列的前项和，则、是等比数列.三、典型例题A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）（1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知为等差数列的前项和，求；2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和3、设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.（2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知为等差数列的前项和，则 ；2、设、分别是等差数列、的前项和，则 .3、设是等差
5、数列的前n项和，若（ ）4、等差数列,的前项和分别为,若,则=（ ）5、已知为等差数列的前项和，则 .6、在正项等比数列中，则_。7、已知数列是等差数列，若 ,且,则_。8、已知为等比数列前项和，则 .9、在等差数列中，若，则的值为（ ）10、在等比数列中，已知，则 . 11、已知为等差数列，则 12、等差数列中，已知B、求数列通项公式（1） 给出前几项，求通项公式3，-33,333，-3333,33333（2）给出前n项和求通项公式1、； .2、设数列满足，求数列的通项公式（3）给出递推公式求通项公式a、已知关系式，可利用迭加法或迭代法；例：已知数列中，求数列的通项公式；b、已知关系式，可利
6、用迭乘法.例、已知数列满足：，求求数列的通项公式；c、构造新数列1递推关系形如“”，利用待定系数法求解例、已知数列中，求数列的通项公式.2递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解例、，求数列的通项公式.3递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解例、已知数列中，求数列的通项公式.4递推关系形如,两边同除以例1、已知数列中，求数列的通项公式.例2、数列中，求数列的通项公式.d、给出关于和的关系例1、设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式例2、设是数列的前项和，.求的通项；设，求数列的前项和.C、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差例1、已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数
7、列.例2、已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn1=0（n2），a1=. 求证：是等差数列；2）证明数列等比 例1、设an是等差数列，bn，求证：数列bn是等比数列；例2、数列an的前n项和为Sn，数列bn中，若an+Sn=n.设cn=an1，求证：数列cn是等比数列；例3、已知为数列的前项和，.设数列中，求证：是等比数列；设数列中，求证：是等差数列；求数列的通项公式及前项和.例4、设为数列的前项和，已知证明：当时，是等比数列；求的通项公式例5、已知数列满足证明：数列是等比数列；求数列的通项公式；若数列满足证明是等差数列.D、求数列的前n项和基本方法：1）公式法，2）拆解求和法.
8、例1、求数列的前项和.例2、求数列的前项和.例3、求和：25+36+47+n（n+3）2）裂项相消法，数列的常见拆项有：；例1、求和：S=1+例2、求和：.3）倒序相加法，例、设，求：；4）错位相减法，例、若数列的通项，求此数列的前项和.5）对于数列等差和等比混合数列分组求和例、已知数列an的前n项和Sn=12nn2，求数列|an|的前n项和Tn.E、数列单调性最值问题例1、数列中，当数列的前项和取得最小值时， . 例2、已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；例3、数列中，求取最小值时的值.例4、数列中，求数列的最大项和最小项.例5、设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（
9、）若，求的取值范围例6、已知为数列的前项和，.求数列的通项公式；数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.例7、非等比数列中，前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。F、有关数列的实际问题例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的，从2003年开始,计划每年将非绿
10、化面积的8绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2被非绿化. 设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示；求数列的第项；至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:)上海市虹口区复兴高级中学高三年级第一学期数学复习 (数列部分)一、填空题1.已知等差数列an的公差d0,且a1,a3,a9成等比数列，则 。2.互不相等的三个实数x,y,z成等差数列，且x,z,y成等比数列，则x:y:z= 。3 已知数列的通项公式则= 。4各项均为正数的等比数列an，若a5a6=9,则log3a1+log3a2+log3a10= 。5等差数列和的前n项和分别为Sn和
11、Tn，对一切自然数n都有， 则 等于 6已知等比数列的各项均为正数，公比Q=，则P与Q的大小关系是 .7. 已知等式122+232+n(n+1)2=n(n+1)(an2+bn+10)对一切自然数n 都成立，那么a= b= 8在等差数列中，则=_ 。9在等比数列中，已知则_.10若，数列的前n项和Sn=5，则n=_。11是等差数列，S100，S110，则使0的最小的n值是 .12以下四个命题中 anA.P.且p、q、rN，则“ap、aq、ar成等差数列”的充要条件是“p、q、r成等差数列” “ ” 是“ a、b、c 成等比数列的必要不充分条件”； “lgan成A.P.”是“an成等比数列”的充分
12、不必要条件； m、n、p、rN，an是等比数列 ，“m+n=p+r”是“aman=apar”充要条件。真命题个数为 。二、选择题13已知数列的首项，又满足则该数列的通项等于 （ ） （A） （B） （C） （D） 14数列中，又数列是等差数列，则= （ ） （A）0 （B） （C） （D）115在等差数中，若则等于 （ ） （A）90 （B）100 （C）110 （D）12016设是由正数组成的等比数列，公比且则等于 （ ） （A） （B） （C） （D）17等差数列共有项，其中则的值为 （ ） （A）5 （B）3 （C）7 （D）918已知顺次成等差数列，则 （ ） （A）有最大值，无最小值
13、 （B）有最小值，无最大值 （C）有最小值，最大值1 （D）有最小值 -1，最大值1三、解答题19.已知an是等差数列, 且an 0, (nN), 公差d 0. 设方程anx2+2an+1x+an+2= 0是关 于x的一组方程. (1)求这组方程的公共根;(2)证明: 如果上述方程的另一个根为bn , 则数列是等差数列.20 (本小题满分14分)在公差不为零的等差数列an和等比数列bn中，已知a1=，且a1=b1，a2=b2，a6=b3（）求公差和公比；（）是否存在实数a,b，使得对于一切自然数n都有+成立，若存在求出； 若不存在，说明理由.21设An为数列an的前n项和，An=(an-1）(
14、nN)，数列bn的通项公式为bn=4n+3（nN)，（1）求数列an的通项公式；（2）将数列an与bn的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列cn，求cn的通项公式；。22.(本小题满分14分) 在西部大开发中某公司投资兴办甲、乙两个企业，2000年甲企业获利润320万元，乙企业获利润720万元，以后每年企业的利润甲以上年利润的1.5倍速度递增，而乙企业是上年利润的，预期目标为两企业年利润之和是1600万元，从2000年年初起（）哪一年两企业获利润之和最小，最小值是多少?（）经过几年即可达到预期的目标(精确到年).上海市虹口区复兴高级中学高三年级第一学期数学复习 (数列部分答案)一、填
15、空题1.6/7 2. 4：1：(-2) 3.50 4.10 5. 6.PQ 7.3,11 8.10 9.4 10.35 11.6 12.1二、选择题13,B 14,B 15,B 16,B 17,B 18,B三、解答题19.解：（1）由已知2an+1=an+an+2 又由anx2+2an+1x+an+2= 0 (x+1)(anx+an+2)=0 所以x= -1是这组方程的公共根; 方程的另一个根为bn=x= - -得证（2）由已知2an+1=an+an+2 又由anx2+2an+1x+an+2= 0 (x+1)(anx+an+2)=0 所以x= -1是这组方程的公共根;方程的另一个根为bn=x=
16、 - -得证.20解：()设公差为d(d0)，公比为q 1分由条件：b1=1,且a2=b2,a6=b3 解得d=3 q=4 6分()若存在a、b对一切自然数n都有an=logabn+b即由(1)得 8分3n-2=loga4n-1+b (3-loga4)n+(loga4-b-2)=0恒成立 12分 14分21解：（1）An=(an-1)， An+1=(an+1-1)，相减 An+1-An=an+1-an，an+1=an+1-an， an+1=3an(nN) a1=(a1-1) a1=3， 数列an是以3为首项，3为公比的等到比数刑， an=3n 。 （2）a1=3，a2=9，bn的项，a3=27
17、=46+3=b6， c1=a3=b6=27，设cn=am=bp， 3m=4p+3，数列an+1=3m+1=33m=3(4p+3)=4(3p+2)+1，am+1不是bn的项，又an+2=3m+2=93m=9(4p+3)=9(9p+6)+3，am+1是bn的项， =9，Cn=c1qn-1=279n-1=32n+1，故cn的通项公式为Cn=32n+1 。22.解：()设从2000年起，第n年获利润为yn由条件： 3分=2480=960 5分当且仅当 6分即n=2时取“=”.故第二年即2001年上交利润最少，共960万元-7分()由题意：1600化简为： 9分设，原不等式化为4t2-20t+90解得：
18、t或t (舍) 1 2分由t得 n 13分n=5，即经过5年可达到预期目标 14分补充练习：（一）选择题1有限数列的前项和为，定义为的“凯森和”，如果有99项的数列的数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列的“凯森和”为（ ）A1001 B999 C991 D9902已知数列满足若，则（ ）A B C D3有一个塔形几何体由若干正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面的各边中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）A4 B5 C6 D7 4一给定函数的图象在下列图中，并且对
19、任意，由关系式得到的数列满足，则该函数图象是（ ） A B C D5数列的前项和，其中是非零常数，则存在数列使得（ ）A，其中为等差数列，为等比数列B，其中和都为等差数列C ，其中为等差数列，为等比数列D，其中和都为等比数列6 令，给定，考察由定义的数列，其中使数列只取有限个不同的数值的实数的值有（ ）A1个 B2个 C3个 D无数个（二）填空题7设函数的导数为，则数列的前项和是 8当成等差数列时，有；当成等差数列时，有，由此可归纳出当成等差数列时，有如果成等比数列时，类比上述方法，归纳出的等式为 9使用计算器依照预先编制的程序进行计算，当依次输入两个数据为1和1时，输出的结果为2；若依次输入
20、两个数据为和时，输出的结果为；依次输入两个数据为和时，输出的结果为；则当依次输入两个数据为1和时，输出的结果为 10阿诺卡塔游戏玩法：现有中间带孔的圆木片，这些圆木片以从大到小的次序穿在一根竹竿上，现在的任务是将这堆圆木片穿到其他一根竹竿上，但必须遵循如下规则：1） 圆木片只能一一搬动；2） 大的木片只能放在小的木片下面； 3） 搬动的次数尽可能少现有5块圆木片组成的阿诺卡塔，问至少移动 次能完成任务。 （三）解答题11数列的前项和为（I）求证：为等差数列（II）设，求数列的通项12已知数列中，且，其中（I）求（II）求的通项公式13已知函数的最大值不大于，又当时，（I）求的值（II）设，证明
21、14如图，的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，对于每个正整数，为线段的中点，令的坐标为，（I）求及（II）证明（III）若记，证明是等比数列参考答案一 选择1C 2二 填空7 8 9 1031三 解答11（I）由得故为等差数列（II），12（I）（II）13（I）=1（II）当时，成立 当时，假设时成立，即成立当时，由于在递增故故当时也成立14（I） 由题意得故，故=2（II）两边除以2得又故（III） 故是等比上海市复兴高级中学高三数学复习数列复习题精选1设是首项为1，公比为2的等比数列. 对于满足的整数k,数列确定. 记.（I
22、）当k=1时，求M的值；（II）求M的最小值及相应的k的值.（I）解：显然 当 所以， （II）解：当所以，M的最小值为 2设Sn为等差数列an的前n项和（nN*）（1）若数列an单调递增，且a2是a1、a5的等比中项，求证： （2）数列an的公差为d，且问是否存在正的常数c，使得等式对任意正整数n都成立.若存在，求c（用d表示）；若不存在，请说明理由.解：记等差数列an的公差为d，由题意得解得d=2a1所以于是故（2）假设存在正常数c，使得等式恒成立又所以当n=1时，有整理变形得两边平方化简得接下来证明：当时，对任意正整数n都成立存在正常数使得等式对任意正整数n都成立3已知数列R）对于（I）
23、当 （II）若a满足，求数列的通项； （III）证明：满足3的自然数n存在.解：（I）因此， （II）猜想对于任意正整数l有下面用数学归纳法证明对（i）满足对（ii）假设当由（i）（ii）可知对任意 同理可证 （III）假设对所有的n，知数列是首项为a，公差为3的等差数列.对于充分大的n，会有，这与假设矛盾，假设错误，有满足的自然数n存在4设数列an的各项都是正数，且对任意nN+，都有，记Sn为数列an的前n项和. （1）求证：=2Snan；（2）求数列an的通项公式；（3）若（为非零常数，nN+），问是否存在整数，使得对任意 nN+，都有bn+1bn.解：（1）在已知式中，当n=1时， a1
24、0 a1=1 当n2时， 得， an0 =2a1+2a2+2an1+an， 即=2Snan a1=1适合上式=2Snan(nN+) （2）由（1）知=2Snan(N+) 当n2时， =2Sn1an1 得=2(SnSn1)an+an1=2anan+ an1= an+ an1an+an10 anan1=1 数列an是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n （3） 当n=2k1，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3都成立，bn 5如图,将圆分成个扇形区域,用3种不同颜色给每一个扇形区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为. ()求, ,； ()求与的关系式； (
25、)求数列的通项公式,并证明.解：（） 当n=1时，不同的染色方法种数a1=3 ， 当n=2时，不同的染色方法种数a2 =6 ， 当n=3时，不同的染色方法种数a3=6 ， 当n=4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形不同的染色方法种数a4=3122+3211=18 （）依次对扇形区域1,2,3,n,n+1染色，不同的染色方法种数为32n，其中扇形区域1与n+1不同色的有an+1种，扇形区域1与n+1同色的有an种an+ an+1=32n （n 2）（）an+ an+1=32n （n 2）a2+a3 =322 a3 +a4 =323an-1+ an=32n-1 将上述n-2个等式两边分别乘以(
26、-1)k (k=2,3, n-1)，再相加，得，an=2n +2 (-1)n，从而（）证明：当n=1时，a1=3 21,当n=2时，a2=6 22，当n 3时，故an2n (nN*). 6如图所示的树形图形.第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层.设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度.（）求第三层及第四层树形图的高度H3，H4；（）求第n层树形图的高度Hn；（）若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”.显
27、然，当时是“矮小”的，是否存在.使得当时，该树形图是“高大”的?解：()设题中树形图（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，则， 所以，第三层树形图的高度. 第四层树形图的高度. （）易知，所以第n层树形图的高度为， 所以，当为奇数时，第n层树形图的高度为； 当为偶数时，第n层树形图的高度为. （）不存在.由（）知，当为奇数时，； 当为偶数时， 由定义，此树形图是永远是“矮小“的.所以不存在.使得当时，该树形图是“高大”的.7我们把数列叫做数列的k方数列（其中an0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和。（1）比较S（1，2）S（3，2）与S（2，2）2的大小；（2）若数列
28、的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求数列的k方数列通项公式。（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。解：（1）S（1，2）= S（1，2）S（3，2）S（2，2）2= =（2）设 则 得 2d2=0，d=p=0 ， （3）当an=n时，恒等式为S（1，n）2=S（3，n） 证明：，相减得：，相减得： 8在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等
29、差数列.aij表示位于第i行第j列的数，其中a11a12a13a14a15a1ja21a22a23a24a25a2ja31a32a33a34a35a3ja41a42a43a44a45a4jai1ai2ai3ai4ai5aij （I）求q的值； （II）求aij的计算公式；（III）设数列bn满足的前n项和为Sn，试比较 的大小，并说明理由.解：（I）设第4列公差为d，则故.由于 （II）在第4列中，. 由于第i行成等比数列，且公比， 所以，（III）由（II）可得设，所以又，所以在因此函数单调递增所以是递增数列 同理设，所以是递减数列容易计算，显然，所以当 9已知递增数列满足：，且成等比数列（
30、）求数列的通项公式，（）若数列满足： 证明：，记，证明：10在数列中，（）若对于，均有成立，求的值； （）若对于，均有成立，求的取值范围； （）请你构造一个无穷数列，使其满足下列两个条件，并加以证明： ； 当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1.（）解：依题意，所以，解得，或，符合题意. （）解： 解不等式，即， 得所以，要使成立，则（1）当时，而，即，不满足题意. （2）当时，满足题意.综上，. （）解：构造数列：， . 那么 . 不妨设取，那么，.由，可得， （，）.因为，所以.又，所以数列是无穷数列，因此构造的数列符合题意. 11已知数列的前项和 满足：数列的通项公式为 （I）求数列的
31、通项公式； （II）试比较与的大小,并加以证明；（III）是否存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点落在圆C上?说明理由.解：（I）两式相减得 又即数列是首项为公比为的等比数列,其通项公式是 另解一: 即数列是首项为公比为的等比数列,通项公式是当时, 又 （II）(1)当时, (2)当时, (3)当时, 即 （III）不存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点落在圆C上 10分假设存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点即落在圆C上不妨设设圆C的方程为: 从而 由, 得 即 由得整理得, 作函数由知函数是增函数 产生矛盾故不存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点落在
32、圆C上 14分12 （本小题满分13分）给定一个项的实数列，任意选取一个实数，变换将数列变换为数列，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数可以不相同，第次变换记为，其中为第次变换时选择的实数.如果通过次变换后，数列中的各项均为，则称， ，为 “次归零变换”（）对数列：1,2,4,8，分别写出经变换，后得到的数列；（）对数列：1,3,5,7，给出一个 “次归零变换”，其中；（）证明：对任意项数列，都存在“次归零变换”.12 （本小题满分14分）解：（）：1,0,2,6;：2,3,1,3;：2,1,3,1.（）方法1：3,1,1,3;：1,1,1,1;：
33、0,0,0,0方法2：1,1,3,5;：1,1,1,3;：1,1,1,1；：0,0,0,0. （）记经过变换后，数列为 取 ,则，即经后，前两项相等；取，则，即经后，前3项相等；继续做类似的变换，取，（），经后，得到数列的前项相等特别地，当时，各项都相等，最后，取，经后， 数列各项均为0.所以必存在次“归零变换”（注：可能存在次“归零变换”，其中） 上海市复兴高级中学高三数学数列专题检测一、选择题1.在等差数列中，若+=120，则2-的值为 （ ）A、20 B、22 C、24 D、282.在等比数列an中，首项a11 Bq1 C0q1 Dq1，且，则m等于（ ）A38B20C10D910.北京
34、市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61）（ ）A10%B16.4%C16.8%D20%二、填空题11.设数列an满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列an+1an（nN*）是等差数列，求数列an的通项公式_.12.已知等比数列及等差数列，其中，公差d0将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，则这个新数列的前10项之和为_.13.设an是首项是1的正项数列, 且 0(n1.2,3,),则它的通项公式 _.14.
35、 已知，把数列的各项排成三角形状； 记A（m,n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）= .三、解答体15.设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，成等比数列。（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式.16. 已知等比数列的各项为不等于1的正数，数列满足，y4=17, y7=11(1)证明：为等差数列；（2）问数列的前多少项的和最大，最大值为多少？ 17.已知数列是等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）令求数列前n项和的公式.18. 假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： （）每年年末加1000元； （）每半年结束时加300元。请你选择。 （1）如果在该公司干
36、10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？ 19. 已知数列，且, , 其中k=1,2,3,.（）求，（II）求通项公式.20. 已知点Pn(an,bn)都在直线：y=2x+2上，P1为直线与x轴的交点，数列成等差数列，公差为1.（nN+）（1）求数列，的通项公式；（2）若f(n)= 问是否存在k,使得f(k+5)=2f(k)2成立；若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。（3）求证： （n2，nN+）参考答案一、选择题题号12345678910答案CCBBBABACB二、填空题11. （nN*） 12.978 13. 14.三、解答题15. 证明：因，成等比数
37、列，故，而是等差数列，有，,于是 ，即，化简得 （2）解：由条件和，得到，由（1），代入上式得，故 ，16. （1）y (2)y 3d=6 d=2 y当n=12时，S有最大值144.前12项和最大为144.17.(）解：设数列公差为，则 又所以（）解：令则由得 当时，式减去式，得 所以当时, 综上可得当时,；当时，18. 设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n；设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n；(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1a2a10=55000元。方案2共加薪T20=b1b2b20=2030
38、0=63000元； (2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：Sn=a1a2an=1000n=500n2500nT2n=b1b2b2n=2n300=600n2300n 令T2nSn即：600n2300n500n2500n，解得：n2，当n=2时等号成立。如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。 19. （I）a2=a1+(1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k
39、+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1). 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1)=(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1,于是a2k+1= a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+(1)k=(1)k=1 an的通项公式为： 当n为奇数时，an= 当n为偶数时，20. 1) P (2)若k为奇数 若k为偶数则f(k)= 则f(k)=2k2f(k+5)=b f(k+5)=k+32k+8=2k42 k+3=4k42 无解： q=3k这样的k不存在 k=3(舍去)无解（3）= n
