1、新20版练B1数学人教A版3.2.1单调性与最大(小)值第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性考点1 单调性定义的理解1.下列命题正确的是()。A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2(a,b),当x1x2时,有f(x1)f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2(a,b),当x1x2时,有f(x1)f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数C.若函数f(x)在区间I1上为减函数,在区间I2上也为减函数,那么f(x)在区间I1I2上一定是减函数D.若函
2、数f(x)是区间I上的增函数,且f(x1)f(x2)(x1,x2I),则x1x2答案:D解析: A项中,应是对定义域内任意x1,x2且x10B.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0C.f(a)f(x1)x2,则f(x1)f(x2),故C不正确。3.如图3-2-1-1-1是函数y=f(x)的图像,则此函数的单调递减区间的个数是()。图3-2-1-1-1A.1 B.2 C.3D.4答案:B解析: 由图像,可知函数y=f(x)的单调递减区间有2个。故选B。4.(2019河南周口高一上调考)设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间,且x1(a,b),x2(c,d),x1x2,则f(x1)与
3、f(x2)的大小关系为()。A.f(x1)f(x2) C.f(x1)=f(x2)D.不能确定答案:D解析: 由函数单调性的定义,知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值,才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中的x1,x2不在同一单调区间内,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定。故选D。5.(2019福建莆田一中高一上期中考试)若函数f(x)在R上是减函数,则下列关系式一定成立的是()。A.f(a)f(2a)B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a)D.f(a2+1)a2,所以f(a2+1)”“解析: f(x)在-2,2上是减函数,且-1f(2)。考点2函数单调性的
4、判定8.如图3-2-1-1-3所示的是定义在区间-5,5上的函数y=f(x)的图像,则下列关于函数f(x)的说法错误的是()。图3-2-1-1-3A.函数在区间-5,-3上单调递增B.函数在区间1,4上单调递增C.函数在区间-3,14,5上单调递减D.函数在区间-5,5上没有单调性答案:C解析: 若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间,不一定能用“”连接。故选C。9.(2019广东揭阳第三中学高一期末)函数f(x)=2x的单调递减区间为()。A.(-,+)B.(-,0)(0,+)C.(-,0),(0,+)D.(0,+)答案:C解析: 由函数的图像(图略)知,函数以原点为对称中心,在(-
5、,0),(0,+)上均为减函数。故选C。10.(2019广西桂林高一期末调考)下列函数中,在R上是增函数的是()。A.y=|x|B.y=xC.y=x2D.y=1x答案:B解析: 对于A,y=|x|,当x0时,函数为减函数,故错误;对于C,y=x2,当x0时,函数为减函数,故错误;对于D,函数y=1x在(-,0)和(0,+)上都是减函数,故错误。故选B。11.函数f(x)是定义在R上的单调递减函数,其图像过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|-3时,f(x)2,当x-2,故当-3x1时,|f(x)|0,x2-3x,x0,作出其图像如图,观察图像知单调递增区间为0,32。考点3函数单调性
6、的应用13.(2018河北定州中学高三月考)已知函数f(x)=2x2-kx-4在区间-2,4上具有单调性,则k的取值范围是()。A.-8,16B.(-,-816,+)C.(-,-8)(16,+)D.16,+)答案:B解析: f(x)=2x2-kx-4,其对称轴为x=k4,k44或k4-2,即k16或k-8,故选B。14.(2019北师大附中高一期中)若函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)f(-m+9),则实数m的取值范围是()。A.(-,-3)B.(0,+)C.(3,+)D.(-,-3)(3,+)答案:C 解析: 函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)f(-m+9),所以2m-m
7、+9,解得m3。故选C。15.(2019江西新余第一中学高一段考)已知函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且对任意的x1,x21(x1x2),有f(x1)-f(x2)x1-x20。设a=f-12,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()。A.cbaB.abcC.bcaD.ba1(x1x2),有f(x1)-f(x2)x1-x20,函数在x1时单调递增。f-12=f1-32=f1+32=f52,f(2)f52f(3),即ba12D.a12答案:D解析: 函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,则2a-10,即af(-m),则实数m的取值范围是。答案: (-,-1)(
8、0,+)解析: 由函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2)f(-m),得m2-m,结合二次函数y=m2+m的图像,解得m0。18.若二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间12,1上是增函数,则实数a的取值范围是。答案: (-,2解析: 因为函数f(x)在区间12,1上是增函数,且其图像的对称轴为直线x=a-12,所以a-1212,解得a2。故实数a的取值范围是(-,2。19.已知f(x)=(3-a)x-4a,x1,x2,x1是R上的增函数,则实数a的取值范围是。答案: 25,3解析: 由f(x)=(3-a)x-4a,x0,3-5a1,解得25a0,又f(x)在(0,+)上为减函数,
9、f(a2-a+1)f34。考点4函数单调性的综合问题22.(2019山西大同一中月考)已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图像上的两点,则-1f(x)1的解集是()。A.(-3,0)B.(0,3)C.(-,-13,+)D.(-,01,+)答案:B解析: 由已知,得f(0)=-1,f(3)=1,-1f(x)1等价于f(0)f(x)f(3)。f(x)在R上单调递增,0x3。23.(2019云南昆明一中高一上期中考试)已知函数f(x)=4-x2,若0x1x2x3,则f(x1)x1,f(x2)x2,f(x3)x3的大小关系是()。A.f(x1)x1f(x3)x3 f(x2)
10、x2B.f(x1)x1f(x2)x2f(x3)x3C.f(x3)x3f(x2)x2f(x1)x1D.f(x2)x2f(x3)x3f(x1)x1答案:C解析: 由题意可得0x1x2x32,而f(x)x=4-x2x=4x2-1,f(x)x在(0,2上单调递减,f(x3)x3f(x2)x2f(x1)x1,选C。24.(2019山东青岛二中期中考试)已知函数f(x)在区间-4,7上是增函数,则函数y=f(x-3)的一个单调增区间为()。A.-2,3B.-1,7C.-1,10D.-10,-4答案:C解析: 由函数y=f(x)的图像向右平移3个单位长度后得到函数y=f(x-3)的图像,所以y=f(x-3)
11、的一个单调增区间为-1,10。25.(2019江苏徐州一中月考)已知函数f(x),g(x)在(a,b)上是增函数,且ag(x)b,求证:函数f(g(x)在(a,b)上也是增函数。答案: 证明:任取x1,x2(a,b),且x1x2,因为g(x)在(a,b)上是增函数,所以g(x1)g(x2),且ag(x1)g(x2)b。又f(x)在(a,b)上是增函数,所以f(g(x1)0时,f(x)1。(1)求证:f(x)是R上的增函数;答案: 证明:设x1,x2R,且x10,即f(x2-x1)1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f
12、(x2-x1)-10。所以f(x1)f(x2),所以f(x)是R上的增函数。(2)若fxy=f(x)-f(y),f(2)=1,解不等式f(x)-f1x-32。答案: 解:因为fxy=f(x)-f(y),所以f(y)+fxy=f(x)。在上式中取x=4,y=2,则有f(2)+f(2)=f(4),因为f(2)=1,所以f(4)=2。于是不等式f(x)-f1x-32等价于f(x(x-3)f(4)(x3)。又由(1),知f(x)是R上的增函数,所以x(x-3)4,x-30,解得-1x3或3x4。所以原不等式的解集为-1,3)(3,4。第2课时函数的最大(小)值考点1函数的最大(小)值的判定1.设函数f
13、(x)的定义域为R,以下三种说法:若存在常数M,使得对任意xR,有f(x)M,则M是f(x)的最大值;若存在x0R,使得对任意xR,有f(x)f(x0),则f(x0)是f(x)的最大值;若存在x0R,使得对任意xR,且xx0有f(x)f(x0),则f(x0)是f(x)的最大值。其中正确说法的个数为()。A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析: 由函数最大值的概念知正确。2.函数f(x)在-2,+)上的图像如图3-2-1-2-1所示,则此函数的最大值、最小值分别为()。图3-2-1-2-1A.3,0B.3,1C.3,无最小值D.3,-2答案:C解析: 观察题中图像可以知道,图像的最高点坐标是
14、(0,3),从而其最大值是3;图像无最低点,即该函数不存在最小值。故选C。3.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为()。A.42,12B.42,-14C.12,-14D.无最大值,最小值为-14答案:D解析: f(x)=x+322-14,x(-5,5),当x=-32时,f(x)有最小值-14,f(x)无最大值。4.函数f(x)=11-x(1-x)的最大值是()。A.45B.54C.34D.43答案:D解析: f(x)=1x-122+3443,所以f(x)的最大值为43。5.已知函数f(x)在-2,2上的图像如图3-2-1-2-2所示,则此函数的最小值、最大值分
15、别是()。图3-2-1-2-2A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2答案:C解析: 观察函数图像,知图像最低点的纵坐标为f(-2),最高点的纵坐标为2,故选C。6.函数f(x)=2-3x在区间1,3上的最大值是()。A.2B.3C.-1D.1答案:D解析: 容易判断函数f(x)在区间1,3上是增函数,所以在区间1,3上的最大值是f(3)=1。7.(2019四川成都高一上调考)函数y=x2-2x+2在区间-2,3上的最大值、最小值分别是()。A.10,5B.10,1C.5,1D.12,5答案:B解析: 因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,且x-2,3,所以当x=1时
16、,ymin=1,当x=-2时,ymax=(-2-1)2+1=10。故选B。8.(2019河南林州一中期末考试)函数f(x)=1x,x1,-x2+2,x1的最大值为()。A.1B.2C.12D.13答案:B解析: 当x1时,函数f(x)=1x为减函数,此时f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1;当x0时,2a+1-(a+1)=2,即a=2;当ab。若f(x)=minx+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为。答案:6解析: 由题意,知f(x)=x+2,0x4,10-x,x4,易知f(x)max=f(4)=6。13.函数f(x)=x-x+1的最小值为。答案:-54解析: 令x+1=
17、t(t0),则x=t2-1,所以y=t2-t-1(t0)。又y=t2-t-1(t0)的图像是对称轴为直线t=12、开口向上的抛物线的一部分,所以ymin=122-12-1=-54。故函数f(x)的最小值为-54。【名师点睛】本题考查无理函数的最值问题。求解这类问题常常使用的方法是换元法,通过换元将无理函数的最值问题化为二次函数的最值问题,需要注意的是换元后的新元的取值范围。14.(2019河北成安一中高一月考)已知0x1,则函数y=x(3-2x)的最大值是。答案: 98解析: 原函数可化为y=-2x2+3x=-2x-342+98,所以当x=34时,函数有最大值98。15.对于函数f(x)=x2
18、+2x,在使f(x)M成立的所有实数M中,我们把M的最大值Mmax=-1叫函数f(x)=x2+2x的下确界,则对于aR,且a0,y=a2-4a+6的下确界为。答案:2解析: y=a2-4a+6=(a-2)2+22,则y=a2-4a+6的下确界为2。考点2函数的最大(小)值的应用16.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x。若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()。A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元答案:C解析: 设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为L=-x2+2
19、1x+2(15-x)=-x2+19x+30=-x-1922+30+1924,当x=9或10时,L最大,为120万元。17.当0x2时,a-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是()。A.(-,1B.(-,0C.(-,0)D.(0,+)答案:C解析: a-x2+2x恒成立,则a小于函数f(x)=-x2+2x,x0,2的最小值,而f(x)=-x2+2x,x0,2的最小值为0,故a0)在区间0,2上的最大值等于8,则函数y=f(x)在区间-2,1上的值域为。答案:74,4解析: 由题知函数f(x)图像的对称轴为直线x=-a20)在区间0,3上有最大值4,最小值0。(1)求函数g(x)的解析式;答案:
20、 g(x)=m(x-1)2-m+1+n,函数g(x)的图像的对称轴方程为x=1。又m0,依题意得g(1)=0,g(3)=4,即-m+1+n=0,3m+1+n=4,解得m=1,n=0。g(x)=x2-2x+1。(2)设f(x)=g(x)-2xx,若f(x)-kx0在x18,8时恒成立,求k的取值范围。答案: f(x)=g(x)-2xx,f(x)=x+1x-4。f(x)-kx0在x18,8时恒成立,即x+1x-4-kx0在x18,8时恒成立,k1x2-4x+1在x18,8时恒成立,只需k1x2-4x+1max。令t=1x,由x18,8得t=1x18,8,设h(t)=t2-4t+1=(t-2)2-3
21、。函数h(t)的图像的对称轴方程为t=2,当t=8时,函数h(t)取得最大值33。kh(t)max=h(8)=33,k的取值范围为33,+)。23.(2019武汉二中单元测评)已知函数f(x)=x2+2x+ax,x1,+)。(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值;答案: 当a=12时,f(x)=x2+2x+12x=x+12x+2。任取x1,x21,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1-12x1x20,所以f(x1)0恒成立,试求实数a的取值范围。答案: 依题意f(x)=x2+2x+ax0在1,+)上恒成立,即x2+2x+a0在1,+)上恒成立。记y=x2+2x+a,
22、x1,+),由y=(x+1)2+a-1在1,+)上单调递增,知当x=1时,y取得最小值3+a。所以当3+a0,即a-3时,f(x)0恒成立。于是实数a的取值范围为(-3,+)。24.(2019河南南阳一中高一上月考)已知函数f(x)=|x-a|-9x+a,x1,6,aR。(1)若a=1,试判断函数f(x)的单调性,并给予证明;答案: 当a=1时,函数f(x)在1,6上单调递增。证明如下:当a=1时,f(x)=x-9x,在区间1,6上取任意x1,x2,设x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-9x1-x2-9x2=(x1-x2)-9x1-9x2=(x1-x2)(x1x2+9)x1x20,所以f
23、(x1)f(x2),即f(x)在1,6上单调递增。(2)当a(1,6)时,求函数f(x)的最大值M(a)。答案: 因为a(1,6), 所以f(x)=2a-x+9x,1xa,x-9x,ax6,当1a3时,f(x)在1,a上是增函数,在a,6上也是增函数,所以当x=6时,f(x)取得最大值,为92。当3a6时,f(x)在1,3上是增函数,在3,a上是减函数,在a,6上是增函数,而f(3)=2a-6,f(6)=92;当3a214时,2a-692,此时函数f(x)的最大值为92;当214a92,此时函数f(x)的最大值为2a-6。综上,得M(a)=92,1a214,2a-6,214a6。25.(201
24、8吉林省实验中学高三模拟)已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3。(1)求f(x)的解析式;答案: f(x)是二次函数,且f(0)=f(2),f(x)图像的对称轴为x=1。又f(x)的最小值为1,设f(x)=k(x-1)2+1,又f(0)=3,k=2。f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3。(2)若f(x)在区间2a,a+1上不单调,求a的取值范围;答案: 要使f(x)在区间2a,a+1上不单调,则2a1a+1,解得0a12。故实数a的取值范围是0,12。(3)若xt,t+2,试求y=f(x)的最小值。答案: 由(1)知,y=f(x)图像的对称轴为x=1。若t1,则y=f(x)在t,t+2上是增函数,ymin=2t2-4t+3;若t+21,即t-1,则y=f(x)在t,t+2上是减函数,ymin=f(t+2)=2t2+4t+3;若t1t+2,即-1t1,则ymin=f(1)=1。综上,当t1时,ymin=2t2-4t+3,当-1t1时,ymin=1,当t-1时,ymin=2t2+4t+3。
