1、【考纲下载】1.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率2会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率.第3讲相互独立事件同时发生的概率(1)概念：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率，这样的两个事件叫做相互独立事件(2)概率的乘法公式：如果事件A与事件B相互独立，则P(AB)；如果事件A1，A2，An相互独立，则P(A1A2An).1相互独立事件同时发生的概率没有影响P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)提示：互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念虽然它们都是针对两个事件而言，但互斥事件是说两个事件不能同时发生，而相互独立事件是说一
2、个事件发生与否对另一事件的发生的概率没有影响，两个事件可以同时发生(1)概念：若n次重复试验，每次试验结果的概率都不依赖于，则称这n次试验是独立的(2)概率公式：在n次独立重复试验中，如果事件A在其中1次试验中发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k).【思考】二项式定理中展开式的通项是什么？请把两者比较记忆答案：Tr1Canrbr.2独立重复试验的概率其它各次的试验结果Ck Pk(1P)nknr1如果事件A和B相互独立，则下列各对事件中相互独立的有()A与B；A与B；A与B.ABCD解析：由于事件A与B独立，在事件A发生的条件下，事件B与B仍然是对立事件，
3、则P(B)1P(B)(在A发生的条件下)，即A与B是相互独立的，同理可说明、也都是相互独立的答案：D2某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.B.C.D.解析：由n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式得：P3(k2).答案：C3在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是()A0.12 B0.88 C0.28 D0.42解析：P(10.3)(10.4)0.42.答案：D4(2009湖北卷)甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.
4、5，则三人都达标的概率是_，三人中至少有一人达标的概率是_解析：P10.80.60.50.24；P21(10.8)(10.6)(10.5)0.96.答案：0.240.96求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式；正面计算较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算【例1】(2009吉林延边一模)小张参加某电视台举办的百科知识竞赛预选赛，只有闯过了三关的人才能参加决赛按规则：只有过了第一关，才能去闯第二关；只有过了第二关，才能去闯第三 关对小张来说，过第一关的概率为0.8，如果不按规则去闯第一关，而直接去闯第二关能通过的概率为0.75，直接去闯第三关能通过的概率为0.
5、5.(1)求小张在第二关被淘汰的概率；(2)求小张不能参加决赛的概率思维点拨：应从对立事件入手解决解：记小张能过第一关的事件为A，直接去闯第二关能通过的事件为B，直接去闯第三关能通过的事件为C.则P(A)0.8，P(B)0.75，P(C)0.5.(1)小张在第二关被淘汰的概率为P(AB)P(A)(1P(B)0.80.250.2.答：小张在第二关被淘汰的概率为0.2.(2)小张不能参加决赛的概率为P1P(ABC)10.80.750.50.7.答：小张不能参加决赛的概率为0.7.变式1：某城市有庭订3 0%订阅了A报，有60%的家庭订阅了B报，有20%的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个
6、家庭(1)求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；(2)求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；(3)求这4个家庭中恰好有2个家庭A，B报都没有订阅的概率解：(1)设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A，P(A)(0.3)3(0.7)0.075 6.在 n 次独立重复试验中，某事件A每次发生的概率为p，那么事件 A 恰好有 k 次发生的概率记为：Pn(k)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)(2009湖南联考)食品监管部门要对某品牌食品四项质量指标在进入市场前进行严格的检测，如果四项指标中的第四项不合格或其他三项标中有两项不合格，则这种品牌的食品不能上市，已知每项检
7、测是相互独立，第四项指标不合格的概率为，且其他三项抽检出现不合格的概率是.【例2】解：(1)设“恰好在第三项指标检测结束时能确定不能上市”为事件A.则P(A).(2)设“该品牌的食品能上市”为事件B，则P(B)1.另解：P(B).（1）若食品景泰监管部分要对其四项指标依次进行严格的检测，求恰好在第三项指标检测结束时能确定不能上市的概率；（2）求该品牌的食品能上市的概率。思维点拨：利用求解乙两名工人通过每次测试的概率分别是.假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响(1)求甲工人连续3个月参加技能测试至少有1次未通过的概率；(2)求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好
8、通过1次的概率；(3)工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率变式2：某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试甲、解：(1)记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A1，则P(A1)113.(2)记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A2，“连续3个月参加技能测试，乙工人恰好通过1次”为事件B1，则P(A2)，故P(A2B1)P(A2)P(B1)即两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率为.(3)记“乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格”为事件B2，则P(
9、B2)如果所要求解的概率问题是由若干个连续的部分过程组成的总过程，那么计算与此总过程有关的事件的概率时，可应用相互独立事件的概率乘法公式其解题步骤为：(1)用恰当字母表示题中有关事件；(2)根据题设条件，分析事件间的关系；(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积，或若干个乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；(4)利用概率乘法公式计算概率【例3】(2009全国卷)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)
10、求甲获得这次比赛胜利的概率思维点拨：把互斥事件的加法公式和相互独立事件的乘法公式联手来解决解：记Ai 表示事件：第 I 局甲获胜，i3,4,5，Bj表示事件：第 j 局乙获胜，j3,4.(1)记 A 表示事件：再赛 2 局结束比赛AA3A4B3B4由于各局比赛结果相互独立，故P(A)P(A3A4B3B4)P(A3A4)P(B3B4)P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)0.60.60.40.40.52.(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲再胜2局，从而BA3A4B3A4A5A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，
11、故P(B)P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5)P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A5)0.60.60.40.60.60.60.40.60.648.变式3：2010年毕业于同一高校的甲、乙、丙3位大学生同时应聘一个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为且各自能否被选中是相互独立的(1)求3人都被选中的概率；(2)求只有2人被选中的概率；(3)3人中有几个人被选中的事件最易发生？解：(1)记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A、B、C 则P(A)，P(B)，P(C)，3人都被选中的概率为P1P(ABC).(2)3人中只有2人被选中的概率为P2.(
12、3)3人中恰有1人被选中的概率为.3人均未被选中的概率为，则P2最大，3人中只有2人被选中最易发生.【方法规律】1解决概率问题的关键是清楚所求事件是由哪些基本事件构成的，是这些基本事件有一个发生，还是同时发生，即事件是彼此互斥的事件有一个发生，还是相互独立事件同时发生2n次独立重复试验中的每一次试验只有两个结果，成功与失败，每次试验两种结果发生的概率是不变的在n次独立重复试验的问题中，必须清楚是求哪一个试验结果出现k次的概率和这个试验结果在一次试验中出现的概率P.3需要注意的几个问题：(1)有放回抽样和无放回抽样，前者可看成独立事件，而后者不能(一般看成等可能事件来求概率)(2)从数量很大产品
13、中无放回抽取和从有限件产品中无放回抽取，前者可近似看成独立事件，而后者不能(3)恰有k次发生和某k次发生，前者是独立重复试验，而后者不是，前者包含后者(后者无系数).【高考真题】(2009北京卷)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率【规范解答】解：(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到
14、红灯”，所以事件A的概率为P(A).(2)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min为事件B，这名学生在上学路上遇到k次红灯为事件Bk(k0,1,2)由题意得P(B0).P(B1)，P(B2)由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B的概率为P(B)P(B0)P(B1)P(B2)【探究与研究】本题通过遇到红灯的概率和遇到红灯时的停留时间，设计了一道考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识及运用概率知识解决实际问题的能力的试题，试题的背景合理，题目表述通俗易懂，是一道符合考生实际的概率解答题第(1)问中考虑第四个路口，认为第四个路口不遇到红
15、灯，这样计算的结果是，这实际上是计算的通过四个路口只在第三个路口遇到红灯；本题第(2)问容易漏掉两次遇到红灯或一次也没有遇到红灯的情况，n次独立重复试验中是n1类，解题时不要忽视了这点本题第(2)问将问题归结为一个成功概率是的四次独立重复试验，事件发生0次、1次、2次的概率之和，利用独立重复试验解决问题，这是解答概率综合题的一个重要技巧【方法探究】一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)p0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0p1)，即P(A)p，P(A)1pq.由于试验的独立性，n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余nk次不发生的概率为pkqnk.而在n次试验中，事件A恰好发生k(0kn)次的概率为Pn(k)Cpkqnk，k0,1,2，n.它恰好是(qp)n的二项展开式中的第k1项.
