1、6.3等比数列及其前n项和考纲展示1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.考点1等比数列的判定与证明1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比等于_(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么_叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列_.答案：(1)2同一个常数公比(2)GG2ab2等比数列的有关公式(
2、1)通项公式：an_.(2)前n项和公式：Sn答案：(1)a1qn1(2)na1典题1已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式(1)证明anSnn，an1Sn1n1.，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列又a1a11，a1，又cnan1，是以为首项，以为公比的等比数列(2)解由(1)可知，cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1，代入上式也符合，bnn.点石成金等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：
3、若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则数列an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则数列an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则数列an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14a
4、n2.(1)设bnan12an，求证：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明：由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又 ，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)bnan12an，bn2bn1，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解：由(1)知，bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，化简，得an(3n1)2n2.考点2等比数列的基本运算(1)教材习题改编已知等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项公式an_.答案：32n3解析：设等比数列an的公比为q，则 ，得q7128
5、，即q2，把q2代入，得a1，数列an的通项公式为ana1qn12n132n3.(2)教材习题改编设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.答案：等比数列的两个非零量：项；公比(1)等比数列x,3x3,6x6，的第4项等于_答案：24解析：由等比数列的前三项为x,3x3,6x6，可得(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(此时3x30，不合题意，舍去)，则该等比数列的首项为x3，公比q2，所以第4项为(6x6)q24.(2)等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_.答案：2解析：S33S20，a1a2a33(a1a2)0，a1(44qq2)0.a10，q2.考情聚焦等比数列的
6、基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题主要有以下几个命题角度：角度一求首项a1，公比q或项数n典题22017浙江绍兴柯桥区高三二模已知等比数列an的前n项和为Sn，满足a52S43，a62S53，则此数列的公比为()A2 B3 C4 D5答案B解析由a52S43，a62S53可得a6a52a5，即3，故选B.角度二求通项或特定项典题32017广西南宁测试在各项均为正数的等比数列an中，a12，且2a1，a3,3a2成等差数列，则an_.答案2n解析设数列an的公比为q，2a1，a3,3a2成等差数列，2a13a22a3，即2a13a1q2a1q2，即2
7、q23q20，解得q2或q.q0，q2.a12，数列an的通项公式为ana1qn12n.角度三求前n项和典题4(1)已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项的和为()A. B31 C. D以上都不正确答案B解析设an的公比为q，q0.由已知，得a43a325a2，即a2q23a2q10a2，即q23q100，解得q2或q5(舍去)，又a22，则a11，所以S531.(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_.答案28解析由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以
8、q3，由Sn，得S6，S3，所以28.点石成金解决与等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.考点3等比数列的性质等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam_(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则aman_.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an
9、中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk. 答案：(1)qnm(2)apaqa等比数列的基本公式：通项公式；前n项和公式(1)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_.答案：2解析：由a4a1q3，得4q3，解得q2.(2)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若，则公比q_.答案：解析：易知公比q不为1，由等比数列求和公式得，即1q4，所以q4，得q或q(舍去).应用等比数列的前n项和公式的两个注意点：公比应分q1与q1讨论；注意利用性质(1)设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，则此数列的公比q_.答案：1
10、或解析： 当q1时，S33a13a3，符合题意；当q1时，3a1q2，a10，所以1q33q2(1q)，2q33q210，即(q1)2(2q1)0，解得q.综上所述，q1或q.(2)在等比数列an中，已知a1a2a31，a4a5a62，则该数列的前15项的和S15_.答案：11解析：由题意知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，成等比数列，其公比q2，首项为a1a2a31，因此该数列的前5项和就是数列an的前15项的和，故S1511.典题5(1)2017广东广州综合测试已知数列an为等比数列，若a4a610，则a7(a12a3)a3a9()A10 B20 C100 D200答案C解析a7(
11、a12a3)a3a9a7a12a7a3a3a9a2a4a6a(a4a6)2102100.(2)2017吉林长春调研在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.答案14解析设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，又an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以3n636，即n14.点石成金等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.1.设Sn是等
12、比数列an的前n项和，若3，则()A2 B. C. D1或2答案：B解析：设S2k，S43k，由数列an为等比数列，得S2，S4S2，S6S4为等比数列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，.22017甘肃兰州诊断数列an的首项为a11，数列bn为等比数列且bn，若b10b112 015，则a21_.答案：2 015解析：由bn，且a11，得b1a2，b2，a3a2b2b1b2，b3，a4a3b3b1b2b3，anb1b2bn1，a21b1b2b20.数列bn为等比数列，a21(b1b20)(b2b19)(b10b11)(b10b11)10(2 015)102 015.方法
13、技巧1.判断数列为等比数列的方法(1)定义法：q(q是不等于0的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用q(q是不等于0的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同(2)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列2常用结论(1)若a1a2anTn，则Tn，成等比数列(2)若数列an的项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.易错防范1.特别注意当q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特
14、殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立 真题演练集训 12015新课标全国卷已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84答案：B解析：设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521，得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选B.22016新课标全国卷设等比数
15、列满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_答案：64解析：设等比数列an的公比为q， 解得 a1a2an(3)(2)(n4) ，当n3或4时，取到最小值6，此时取到最大值26，所以a1a2an的最大值为64.32015新课标全国卷在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.答案：6解析：a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，n6.42015安徽卷已知数列是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列的前n项和等于_答案：2n1解析：设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，Sn2n1.520
16、16新课标全国卷已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解：(1)由题意，得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0，得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，从而得通项公式ann1.(2)由(1)，得Sn1n.由S5，得15，即5，解得1. 课外拓展阅读 分类讨论思想在等比数列中的应用典例已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)求证：Sn(nN*)审题视角(1)利用等
17、差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明(1)解析设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1；当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.故对于nN*，有Sn.方法点睛1分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：(1)已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况讨论(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论(3)项数的奇、偶数讨论(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论2数列与函数联系密切，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别提醒 完成课时跟踪检测(三十三)
