1、2015年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1计算： =（i是虚数单位）2已知函数f（x）=，则f（f（3）=3函数f（x）=ln（+1）（x0）的反函数f1（x）=4已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为5已知复数z=3sin+icos（i是虚数单位），且|z|=，则当为钝角时，tan=6在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少
2、选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有种7设数列an前n项的和为Sn，若a1=4，且an+1=3Sn（nN*），则Sn=8在极坐标系中，过点且与圆=2cos相切的直线的方程为9若二项式展开式中含x2项的系数为，则=10若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为1，则实数x的取值集合为11如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为12随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，若则D的值是13已知向量，满足，且，则|2|的最小值为14
3、若f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的实数x0，总有正常数T，使得f（x+T）=f（x）+T成立，则称f（x）具有“性质p”，已知函数g（x）具有“性质p”，且在0，T上，g（x）=x2；若当xT，4T时，函数y=g（x）kx恰有8个零点，则实数k=二、选择题（本题共4题，满分20分）每题只有一个正确答案，考生在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15设全集U=R，已知A=，B=x|x1|2，则（UA）B=（）AB（1，2C（2，3D2，3）16设aR，则“a=1”是“f（x）=|（ax2）x|在（0，+）上单调递增”的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C
4、充分不必要条件D必要不充分条件17如图所示，PAB所在平面和四边形ABCD所在的平面互相垂直，且AD，BC，AD=4，BC=8，AB=6，若tanADP2tanBCP=1，则动点P在平面内的轨迹是（）A线段B椭圆的一部分C抛物线D双曲线的一部分18F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点O为坐标原点，若F是ABC的重心，OFA，OFB，OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S12+S22+S32的值为（）A3B4C6D9三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19函数f（x）=m+logax（a0且a1）的图象过点（8，2）和（1，
5、1）（）求函数f（x）的解析式；（）令g（x）=2f（x）f（x1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值20在如图所示的几何体中，四边形CDPQ为矩形，四边形ABCD为直角梯形，且BAD=ADC=90，平面CDPQ平面ABCD，AB=AD=CD=1，PD=（1）若M为PA的中点，求证：AC平面DMQ；（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小21如图，经过村庄A有两条夹角60为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）记AMN=（1）将AN，AM用含的关系式表示出来；（2）如
6、何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？22已知圆F1：（x+1）2+y2=8，点F2（1，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P（1）求动点P的轨迹的方程C；（2）设M，N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；（3）过点的动直线l交曲线C于A，B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由23已知数列an满足：a1=a2=1，且an+2an=2n（nN*），设bn=3an（1）求数列an的通项公式
7、；（2）在数列bn中，是否存在连续三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，请说明理由；（3）试证明：在数列bn中，一定存在正整数k、l（1kl），使得b1、bk、bl构成等差数列，并求出k、l之间的关系2015年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1计算： =i（i是虚数单位）【考点】复数代数形式的乘除运算；虚数单位i及其性质【专题】数系的扩充和复数【分析】由虚数单位i的运算性质化简，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解答】解：
8、 =故答案为：i【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2已知函数f（x）=，则f（f（3）=【考点】函数的值【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由分段函数f（x）=，先求f（3），再求f（f（3）即可【解答】解：函数f（x）=，f（3）=23=，f（f（3）=f（）=，故答案为：【点评】本题考查了分段函数的简单应用，属于基础题3函数f（x）=ln（+1）（x0）的反函数f1（x）=，x（0，+）【考点】反函数【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用反函数的求法求解即可【解答】解：函数f（x）=ln（+1）（x0），f（x）（0，+）+1=ey，解得x=，函数f（x）=ln
9、（+1）（x0）的反函数f1（x）=，x（0，+）故答案为：，x（0，+）【点评】本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力注意函数的定义域4已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为7【考点】基本不等式【专题】导数的综合应用【分析】正实数x，y满足x+3y=1，可得0，解得0x1于是=f（x），利用导数研究单调性极值即可得出【解答】解：正实数x，y满足x+3y=1，0，解得0x1则=f（x），f（x）=+=，当x时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减；当x时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增当x=，y=时，函数f（x）取得极小值即最小值， =4+3=7故答案为：7【点评】本题考查了
10、利用导数研究单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5已知复数z=3sin+icos（i是虚数单位），且|z|=，则当为钝角时，tan=1【考点】复数求模【专题】三角函数的求值；数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的模，得到的三角方程，然后求解即可【解答】解：复数z=3sin+icos（i是虚数单位），且|z|=，可得9sin2+cos2=5，可得sin2=，当为钝角时，sin=，=135，tan=1故答案为：1【点评】本题考查复数的模以及三角函数的化简求值，考查计算能力6在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科
11、学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有10种【考点】计数原理的应用【专题】应用题；排列组合【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论【解答】解：选择两门理科学科，一门文科学科，有=9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种故答案为：10【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础7设数列an前n项的和为Sn，若a1=4，且an+1=3Sn（nN*），则Sn=4n【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】an+1=3Sn（nN*），变形为Sn+1Sn=
12、3Sn，Sn+1=4Sn，再利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：an+1=3Sn（nN*），Sn+1Sn=3Sn，化为Sn+1=4Sn，数列Sn是等比数列，首项为4，公比为4Sn=4n故答案为：4n【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8在极坐标系中，过点且与圆=2cos相切的直线的方程为1=sin【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】坐标系和参数方程【分析】分别把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质可得切线的斜率，即可得出【解答】解：点P化为P（1，1），圆=2cos化为2=2cos，x2+y2=2x，化为（x1）2+y2=
13、1设与圆相切的直线的方程为y1=k（x1），即kxy+1k=0，则=1，解得k=0切线方程为y=1化为极坐标方程为：1=sin故答案为：1=sin【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9若二项式展开式中含x2项的系数为，则=【考点】极限及其运算；二项式系数的性质【专题】计算题；二项式定理【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数，得出a的值；再计算的值【解答】解：二项式展开式的通项公式为Tr+1=x6r=（a）r，令6r=2，解得r=3；展开式中含x2项的系数为（a）3=，解得a=；=故答案为：
14、【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了数列求和的应用问题以及极限的计算问题，是基础题目10若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为1，则实数x的取值集合为x|x=+2k，kZ【考点】三阶矩阵【专题】三角函数的求值；矩阵和变换【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论【解答】解：行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为1，=1，sin（+x）=1，sinx（cosxsinx）=1，即cosx=1，x=+2k （kZ），故答案为：x|x=+2k，kZ【点评】本题考查了行列式的代数余子式，三角函数的计算，记住常用常见角的三角函数值是解决本题的关键，注意解题
15、方法的积累，属于中档题11如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据F2AB是等边三角形，判断出AF2F1=30，进而在RTAF1F2中求得|AF1|，|AF2|，进而根据双曲线的简单性质求得a可得【解答】解：F2AB是等边三角形，AF2F1=30，|F1F2|=2，|AF1|=1，|AF2|=，a=，2a=1故答案为：1【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生综合分析
16、问题和数形结合的思想的运用属基础题12随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，若则D的值是【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】计算题【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果【解答】解：a，b，c成等差数列，2b=a+c，a+b+c=1，E=1a+1c=ca=联立三式得，故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用
17、到期望的公式13已知向量，满足，且，则|2|的最小值为1【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】可设，根据已知条件容易判断出AOB为等边三角形，且边长为2，而C点在以AB为直径的圆上，延长OB到D，使|OB|=|BD|，这样即可得到而，连接D和圆心E，设C点是与圆的交点，从而|CD|便是的最小值，而由余弦定理可求出|DE|，而圆半径为1，从而能得出|CD|的值【解答】解：由已知条件知cos=；设，；C点在以AB为直径的圆上，如下图所示：延长OB到D，使|OB|=|BD|，连接CD；则，；设圆心为E，连接D点和圆心，设与圆交点为C，则|CD|便是|2|的最小值；由上面知AOB为
18、等边三角形，边长为2；|BE|=1，|BD|=2，EBD=120；在BED中由余弦定理得|ED|=；的最小值为故答案为：【点评】考查数量积的计算公式，向量夹角的范围，两向量垂直的充要条件，直径所对圆周角为直角，以及余弦定理，圆外一点到圆的最近距离14若f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的实数x0，总有正常数T，使得f（x+T）=f（x）+T成立，则称f（x）具有“性质p”，已知函数g（x）具有“性质p”，且在0，T上，g（x）=x2；若当xT，4T时，函数y=g（x）kx恰有8个零点，则实数k=46【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由
19、题意可得g（T）=g（0）+T，从而求出T，再作函数y=g（x）与y=kx在1，4上的图象，由数形结合求解即可【解答】解：g（T）=g（0）+T，T2=0+T，解得，T=1或T=0（舍去）；故作函数y=g（x）与y=kx在1，4上的图象如下，结合图象可知，当直线y=kx与y=g（x）在最后一段上相切时，有8个交点，即函数y=g（x）kx恰有8个零点；此时设切点为（x1，g（x1），则=g（x1），即=2（x13），解得，x1=2，故k=2（23）=46故答案为：46【点评】本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用，属于中档题二、选择题（本题共4题，满分20分）每题只有一个正确答案，考生在答
20、题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15设全集U=R，已知A=，B=x|x1|2，则（UA）B=（）AB（1，2C（2，3D2，3）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】求出集合A，B的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x2或x，B=x|x1|2=x|1x3，则UA=x|x2，（UA）B=x|1x2，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础16设aR，则“a=1”是“f（x）=|（ax2）x|在（0，+）上单调递增”的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充
21、要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据二次函数的性质结合充分必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a=1，则f（x）=|（x2）x|=|（x+2）x|，x（0，+）如图示：，f（x）在（0，+）单调递增，“a=1”是“f（x）=|（ax2）x|在（0，+）上单调递增”的充分条件；若f（x）=|（ax2）x|在（0，+）上单调递增，a0时，f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，a0时，f（x）在（0，+）单调递增，f（x）=|（ax2）x|在（0，+）上单调递增推不出a=1，不是必要条件，故选：C【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道中档题17如图所示，P
22、AB所在平面和四边形ABCD所在的平面互相垂直，且AD，BC，AD=4，BC=8，AB=6，若tanADP2tanBCP=1，则动点P在平面内的轨迹是（）A线段B椭圆的一部分C抛物线D双曲线的一部分【考点】轨迹方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由tanADP=，tanBCP=，以及tanADP2tanBCP=1，可得|PA|PB|=4，根据双曲线的定义做出判断【解答】解：由题意得，ADP 和BCP均为直角三角形，且tanADP=，tanBCP=tanADP2tanBCP=1，|PA|PB|=4|AB|=6，故动点P在平面内的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的一支，故选：D【点评
23、】本题考查双曲线的定义，直角三角形中的边角关系，得到|PA|PB|=4|AB|是解题的关键18F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点O为坐标原点，若F是ABC的重心，OFA，OFB，OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S12+S22+S32的值为（）A3B4C6D9【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），结合抛物线方程可得S12+S22+S32=x1+x2+x3，再由三角形重心坐标公式，得到x1+x2+x3=3，进而得到+的值【解答】解：设A、B、C三点的坐标分别为（x
24、1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则抛物线y2=4x的焦点F的坐标为F（1，0）S1=|y1|，S2=|y2|，S3=|y3|S12+S22+S32=（y12+y22+y32），A、B、C在抛物线y2=4x上， y12=x1， y22=x2， y32=x3，由此可得：S12+S22+S32=x1+x2+x3，点F（1，0）是ABC的重心，（x1+x2+x3）=1，可得x1+x2+x3=3因此，S12+S22+S32=3故选：A【点评】本题给出抛物线的内接三角形以抛物线焦点为重心，求三个三角形面积的平方和着重考查了三角形的重心公式、抛物线的基本概念和简单性质等知识，属于中档题三、解答题
25、（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19函数f（x）=m+logax（a0且a1）的图象过点（8，2）和（1，1）（）求函数f（x）的解析式；（）令g（x）=2f（x）f（x1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值【考点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式【专题】综合题【分析】（1）根据题意，将点的坐标代入即可；（2）先求出g（x）的表达式，观察到函数是复合函数，故应该先研究真数的范围再利用对数函数的单调性求出最值【解答】解：（）由得，解得m=1，a=2，故函数解析式为f（x）=1+log2x，（）g（x）=2f（x）f（x1）=2（1+lo
26、g2x）1+log2（x1）=，其中x1，因为当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log2x1在（0，+）上单调递增，则，故当x=2时，函数g（x）取得最小值1【点评】该题目第一问是送分的，第二问比较有难度，解题时应该注意复合函数的最值拆分开来求：本题先分离常数利用基本不等式求真数的范围，利用对数函数的单调性求出最值20在如图所示的几何体中，四边形CDPQ为矩形，四边形ABCD为直角梯形，且BAD=ADC=90，平面CDPQ平面ABCD，AB=AD=CD=1，PD=（1）若M为PA的中点，求证：AC平面DMQ；（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小【考点】二面角的平面角及求法
27、；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）连结CP交QD于点N，连结MN，通过中位线定理可得结论；（2）以D为原点，以DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系，则所求二面角即为平面PBC的一个法向量与平面PAD的一个法向量的夹角，计算即可【解答】（1）证明：连结CP交QD于点N，连结MN，四边形CDPQ为矩形，N为CP的中点，又M为PA的中点，MN为ACP的中位线，MNAC，AC平面DMQ；（2）解：BAD=ADC=90，平面CDPQ平面ABCD，DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，以DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系，AB=A
28、D=CD=1，PD=，P（0，0，），B（1，1，0），C（0，2，0），=（1，1，），=（0，2，），设平面PBC的一个法向量=（x，y，z），由，得，令z=，得=（1，1，），又=（0，1，0）为平面PAD的一个法向量，=，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为60【点评】本题考查空间线面位置关系的判断及求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题21如图，经过村庄A有两条夹角60为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）记AMN=
29、（1）将AN，AM用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？【考点】在实际问题中建立三角函数模型【专题】解三角形【分析】（1）根据正弦定理，即可表示出AN，AM；（2）设AP2=f（），根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简f（）；根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值【解答】解：（1）AMN=，在AMN中，由正弦定理得： =所以AN=，AM=（2）AP2=AM2+MP22AMMPcosAMP=sin2（+60）+4sin（+60）cos（+60）= 1cos（2+120）sin（2+120）+4=
30、 sin（2+120）+cos（2+120）+=sin（2+150），（0，120）（其中利用诱导公式可知sin（120）=sin（+60）当且仅当2+150=270，即=60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN=AM=2故答案为：（1）AN=，AM=（2）AN=AM=2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小【点评】本题主要考查与三角函数有关的应用问题，利用正弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键22已知圆F1：（x+1）2+y2=8，点F2（1，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P（1）求动点P的轨迹的方程C；（2）设M，N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在
31、第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；（3）过点的动直线l交曲线C于A，B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）如图所示，由|PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2|F1F2|=2，可得动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为（ab0），a=，c=1，b2=a2c2即可得出（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）由，可得x1+2x2=2，y1+2y2=0把x1=22x2，y1=2y2，代入椭圆方程可得=1，又，联立解得即可得出（3
32、）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点设直线AB的方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）与椭圆方程联立可得根与系数的关系，代入上式=0，解出即可【解答】解：（1）如图所示，|PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2|F1F2|=2，动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为（ab0），a=，c=1，b2=1方程C为=1（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+2x2=2，y1+2y2=0x1=22x2，y1=2y2，代入椭圆方程可得=1，又，联立解得，kMN=（3）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点设直线AB的方程为y=kx，A（
33、x1，y1），B（x2，y2）则=（x1，y1t）（x2，y2t）=x1x2+（y1t）（y2t）=x1x2+t+t2=（1+k2）x1x2（x1+x2）+t2=0，联立，化为（1+2k2）x2=0，0恒成立x1+x2=，x1x2=代入上式可得：+t2=0，化为（18t218）k2+（9t2+6t15）=0，解得t=1满足0在y轴上存在定点T（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个点T【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的性质、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题23已知数列an满足：a1=a2=1，且an+2an=2n（n
34、N*），设bn=3an（1）求数列an的通项公式；（2）在数列bn中，是否存在连续三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，请说明理由；（3）试证明：在数列bn中，一定存在正整数k、l（1kl），使得b1、bk、bl构成等差数列，并求出k、l之间的关系【考点】数列递推式；等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由已知的数列递推式，分n为偶数和奇数利用累加法求数列的通项公式；（2）由bn=3an求出数列bn的第二、第三、第四项，可得此三项构成等差数列；（3）分k，l为奇数，偶数，一奇以偶利用等差中项的概念列式证明，并求出使得b1、bk、bl构成等差数列时k、l之
35、间的关系【解答】（1）解：由an+2an=2n（nN*），当n为奇数时，有：，累加得： =；当n为偶数时，有：，累加得： =综上，；（2）解：由bn=3an，得b2=3a2=3，b3=3a3=9，b4=3a4=15，数列bn中，存在连续三项b2，b3，b4构成等差数列；（3）证明：若存在正整数k、l（1kl），使b1、bk、bl构成等差数列，则2bk=b1+bl，若k，l均为奇数，有，此时不存在满足条件的k，l值；若k，l均为偶数，有，此时不存在满足条件的k，l值；若k为奇数，l为偶数，有，此时只要k+1=l，就有等式成立；若k为偶数，l为奇数，有，此时不存在满足条件的k，l值综上，一定存在正整数k、l（1kl），使得b1、bk、bl构成等差数列，此时k为奇数，l为偶数且k+1=l【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，着重考查了分类讨论的数学思想方法，是中高档题
