1、第3课时等比数列的前n项和知能目标解读1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法-错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q1这两种情况.3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前n项和公式（1）设等比数列an，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为 na1(q=1)Sn=
2、.(q1)也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q1进行讨论.（2）等比数列an中，当已知a1,q(q1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q1)，an时，用公式Sn=.2.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知：=q.当q1时，=q,即=q.故Sn=.当q=1时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a
3、1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当q1时，Sn=.当q=1时，Sn=na1.(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n2)当n2时，Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qSn-1Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当q1时，有Sn=,当q=1时，Sn=na1.注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于an为等差数列，bn为等比数列，求anbn的前n项和.3.等比数列前n项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：
4、a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q1的讨论.4.等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为a10，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.(2)当q1时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前n项和公式（1）等比数列an的前n项和为Sn,当公比q1时，Sn=;当q=1时，Sn=.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.2.公式特点（1）若数列an的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q0,q1，则数列an为.（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.答案1.（1）na1(2)错位相减法2.（1）等比数列（2）三二
