1、专题2再谈数形结合的应用数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确方法精要刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决数形结合的思想，其实质是
2、将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对典例剖析精题狂练数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的典例剖析 题型一数形结合在方程根的个数中的应用 题型二数形结合在函
3、数中的应用 题型三数形结合在不等式中的应用 题型四数形结合在解析几何中的应用题型一 数形结合在方程根的个数中的应用例1方程sin x 的解的个数是()A.5 B.6 C.7 D.8破题切入点把方程根的问题转化为两个函数ysin x和y 的图象的交点问题，借助图象观察函数有几个交点，方程的根的个数也就明确了.熟练掌握函数图象，并准确作图是应用数形结合思想解决问题的关键.题型一 数形结合在方程根的个数中的应用根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，在加上原点，共7个交点，题型一 数形结合在方程根的个数中的应用答案 C破题切入点解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象；题型二数形结
4、合在函数中的应用例2已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；解 f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)；题型二数形结合在函数中的应用题型二数形结合在函数中的应用破题切入点解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m的取值范围.(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.解 f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(
5、x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，题型二数形结合在函数中的应用结合如图所示f(x)的图象可知：m的取值范围是(3,1).破题切入点先根据题意，画出可行域，再根据目标式的几何意义求解.题型三数形结合在不等式中的应用题型三数形结合在不等式中的应用解析 画出不等式组题型三数形结合在不等式中的应用答案 2破题切入点在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值.题型四数形结合在解析几何中的应用例4已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、
6、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.解 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，题型四数形结合在解析几何中的应用从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，题型四数形结合在解析几何中的应用总结提高数形结合的题目涉及函数、不等式、集合、直线与圆等，但解决问题的基本思想离不开图象，“见数想图，以形助数”，探究思路、简化计算.数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意
7、识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.实现数形结合，通常有以下途径：实数与数轴上的点的对应关系；有序数组与坐标平面(空间)上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.精题狂练123456789 10 11 121.函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为()A.3 B.2 C.1 D.0解析 画出两个函数f(x)，g(x)的图象，由图知f(x)，g(x)的图象的交点个数为2.B123456789 10 11 12精题狂练2.
8、若f(x)是偶函数，且在(0，)上是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是()A.x|3x3B.x|x3或0 x3C.x|x3 D.x|3x0或0 x0时，f(x)0，此时0 x3；当x0，此时x3.综上x3或0 x3.B123456789 10 11 12精题狂练则x2y21(y0).123456789 10 11 12精题狂练作出图象如图：而yxk中，k是直线的纵截距，由图知：答案 D123456789 10 11 12精题狂练A.2,4 B.2,16C.4,10 D.4,16解析 画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，1234
9、56789 10 11 12精题狂练由图形知最小值为Q到射线xy10(x0)的距离d的平方，最大值为|QA|216.取值范围是2,16.答案 B123456789 10 11 12精题狂练5.已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()O、A、C、B四点共圆.C123456789 10 11 12精题狂练6.已知函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1,1时，f(x)x2，则方程f(x)lg x解的个数是()A.5 B.7 C.9 D.10解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0,1的函数.则交点个数即为解的个数.由图象
10、可知共9个交点.又f(x)lg x，则x(0,10，画出两函数图象，C123456789 10 11 12精题狂练7.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()123456789 10 11 12精题狂练解析 设直线方程为yk(x4)，即kxy4k0，直线l与曲线(x2)2y21有公共点，答案 C123456789 10 11 12精题狂练A.1 B.2C.3 D.4解析 由f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，123456789 10 11 12精题狂练作出函数yf(x)及yx的函数图象如图所示，由图可得交点有3个.答案 C1234567
11、89 10 11 12精题狂练9.已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则C上各点到l的距离的最小值为_.解析 如图可知：过圆心作直线l：xy40的垂线，则AD长即为所求；123456789 10 11 12精题狂练123456789 10 11 12精题狂练解析 根据绝对值的意义，在直角坐标系中作出该函数的图象，123456789 10 11 12精题狂练如图中实线所示.根据图象可知，当0k1或1k4时有两个交点.答案(0,1)(1,4)123456789 10 11 12精题狂练(1)求实数a的取值范围；123456789 10 11 12精题狂练由图知，方程在(0,2)内有相异实根，的充要条件123456789 10 11 12精题狂练(2)求的值.123456789 10 11 12精题狂练123456789 10 11 12精题狂练123456789 10 11 12精题狂练变形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；123456789 10 11 12精题狂练由图可知，当1a6即a5时，f(x)g(x).
