1、2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则_垂直于_的直线与另一个平面_符号语言,=l,_,_a图形语言一个平面内交线垂直aal思考:如果,那么平面内的直线都和平面垂直吗?提示:如果,那么平面内的直线不一定与平面垂直.【知识点拨】对平面与平面垂直的性质定理的两点说明(1)定理的作用该定理也可以视为直线与平面垂直的判定定理.(2)定理的意义从平面与平面垂直的性质定理可以看出,由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.而由平面与平面垂直的判定定理可以看出,由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直,其转化关系可表示为这种相互转化的关系是解决空间图形问题的重要思想方法
2、.类型 一平面与平面垂直的性质及应用【典型例题】1.(2013运城高一检测)已知直线m，n和平面，,若,m,n,要使n,则应增加的条件是()A.mnB.nmC.nD.n2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC的内部3.如图,已知PA平面ABC,平面PAB平面PBC,求证:BC平面PAB.【解题探究】1.应用面面垂直的性质定理需要具备哪些条件?能得到什么结论?2.题2中有哪些线面垂直?由此可以推出哪些面面垂直关系?若,则过平面内的一点作平面的垂线,该垂线与平面有什么关系?3.题
3、3中为了应用“平面PAB平面PBC”应如何作出辅助线?结合条件“PA平面ABC”,应如何作辅助线?探究提示:1.应用面面垂直的性质定理需要具备以下条件:(1)两个平面垂直.(2)在其中一个平面内作交线的垂线.结论:可以得到垂线与另一个平面垂直.2.AC平面ABC1.由此可以推出平面ABC平面ABC1,平面AA1C1C平面ABC1,平面AB1C平面ABC1.若,则过平面内的一点作平面的垂线,该垂线在平面内.3.为了应用“平面PAB平面PBC”应在平面PAB(或平面PBC)内作直线PB的垂线.结合条件“PA平面ABC”应在平面PAB内作直线PB的垂线.【解析】1.选B.已知直线m,n和平面,若,=
4、m,n,应增加条件nm,才能使得n.2.选A.因为BC1AC,ABAC,BC1AB=B,所以AC平面ABC1,又AC平面ABC,所以平面ABC平面ABC1.又平面ABC平面ABC1=直线AB,所以过点C1再作C1H平面ABC,则HAB,即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.3.过点A作AEPB,垂足为E,因为平面PAB平面PBC,平面PAB平面PBC=PB,所以AE平面PBC,因为BC平面PBC,所以AEBC,因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC,因为PAAE=A,所以BC平面PAB.【拓展提升】1.应用面面垂直性质定理应注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时,一般需要
5、作辅助线过其中一个平面内一点作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后,进一步转化为线线垂直.2.平面与平面垂直的其他性质(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.【变式训练】在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1平面ABC,ACB=90.求证:BCAA1.【证明】因为ACB=90,所以BCAC,又因为侧面ACC1A1平面ABC,侧面ACC1A1平面ABC=AC,所以BC侧面ACC1A1,又AA
6、1侧面ACC1A1,所以BCAA1.类型 二折叠问题【典型例题】1如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,BD=将CBD沿BD折起到EBD的位置,使平面EBD平面ABD,则四面体ABDE的表面积是_.2.(2013济宁高一检测)如图,正方形ABCD的边长为4,沿对角线BD将BCD折起,使二面角C-BD-A为直二面角.(1)求证:AC=BC.(2)求三棱锥C-ABD的体积.【解题探究】1.四面体ABDE的四个面是什么图形?如何证明?2.折叠之后有哪些线线垂直关系是不变的?有哪些线段的长度不变?探究提示:1.通过证明AB平面BDE,ED平面ABD可知,四面体ABDE的四个面都是直角三角形
7、.2.折叠之后有OCOD,OCOB,AOOB,AOOD,BCCD,ABAD.线段OA,OB,OC,OD,AB,BC,CD,DA的长度不变.【解析】1.因为AB=2,AD=4,BD=所以AB2+BD2=AD2,所以ABBD，因为平面EBD平面ABD,所以AB平面BDE,同理可证ED平面ABD,所以ABBE,EDBD,EDAD，所以四面体ABDE的四个面都是直角三角形，所以SABD=又SBDC=SABD=而EBD即为BDC，所以SBDE=因为BE=BC=AD=4，所以SABE=ABBE=4,又DE=DC=AB=2，所以SADE=ADDE=4.故四面体ABDE的表面积为答案：2.(1)因为COBD,
8、平面BCD平面ABD，CO平面BCD,平面BCD平面ABDBD,所以CO平面ABD.因为正方形ABCD边长为4,所以CO=OA=在RtCOA中,所以AC=BC.(2)VC-ABD=【拓展提升】解决折叠问题的关键和解题步骤(1)关键：解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况,看看哪些元素的位置变了,哪些没有变.(2)解题步骤：平面空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形.想象出空间图形,完成平面图形与空间图形在认识上的转化.另外弄清楚变与不变的元素以后,再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系.空间平面：为解决空间图形问题,要回到平面上来
9、,重点分析元素的变与不变.【变式训练】(2013焦作高一检测)已知矩形ABCD,AB=1,BC=将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【解题指南】对A，C的判断可以采用反证法,即假设两条直线垂直推出线面垂直关系,再推出线线垂直关系与题目条件中线段长度关系矛盾.对于B可以利用面面垂直的性质推导其正确.【解析】选B.A错误.理由如下:过A作AEBD,垂足为E,若直线A
10、C与直线BD垂直,则可得BD平面ACE,于是BDCE,而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.B正确.理由:翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时,平面ABC平面BCD,此时由CDBC可证CD平面ABC,于是有ABCD.故B正确.C错误.理由如下:若直线AD与直线BC垂直,则由BCCD可知BC平面ACD,于是BCAC,但是ABBC,在ABC中ACB不可能是直角.故直线AD与直线BC不垂直.由以上分析显然D错误.类型 三平行、垂直关系的综合应用【典型例题】1.(2013攀枝花高一检测)已知直线m,n与平面,下列说法正确的是()A.m,n且,则mn
11、B.m,n且,则mnC.=m,nm且,则nD.m,n且,则mn2.(2013朝阳高一检测)如图,在ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED平面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF平面ABC.(2)求证:平面EBC平面ACD.(3)求几何体A-DEBC的体积V.【解题探究】1.面面垂直的性质定理在应用时要特别注意什么?2.判定线面平行的常用方法有哪些?证明面面垂直的基本方法是什么?求锥体的体积关键是什么?探究提示:1.面面垂直的性质定理在应用时要特别注意在其中一个平面内作交线的垂线.2.判定线面平行的常用方法:(1)用线面平行的判定定理.(2
12、)用面面平行的性质.证明面面垂直的基本方法是判定定理,即证明一个平面经过另一个平面的垂线.求锥体的体积关键是求锥体的底面积和高.【解析】1.选B.A.错误.由m,可知m或m.又n,所以m与n的位置关系不确定.B.正确.因为,设=l,在l上取点O,过O在内作OAl,则OA,又n,所以OAn.过O在内作OBl,则OB,又m,所以OBm.AOB是二面角-l-的平面角,由知AOB=90,所以mn.C.错误.由面面垂直的性质定理可知,因为缺少n,所以无法推出n.D.错误.m与n位置关系不确定.2.(1)如图,取BE的中点H,连接HF,GH.因为G,F分别是EC和BD的中点,所以HGBC,HFDE.又因为
13、四边形ADEB为正方形,所以DEAB,从而HFAB.所以HF平面ABC,HG平面ABC.所以平面HGF平面ABC.所以GF平面ABC.(2)因为四边形ADEB为正方形,所以EBAB.又因为平面ABED平面ABC,所以BE平面ABC.所以BEAC.又因为CA2+CB2=AB2,所以ACBC.所以AC平面BCE.从而平面EBC平面ACD.(3)取AB的中点N,连接CN,因为ACBC,所以CNAB,且又平面ABED平面ABC,所以CN平面ABED.因为C-ABED是四棱锥,所以【互动探究】题1选项C改为“m,n且mn，则”是否正确？【解析】此说法正确.理由：显然与相交,否则mn.设=l,在空间中取点
14、O,过O作OA,OB,因为m,n,所以OAm,OBn.由mn知AOB=90，设平面AOB与直线l相交于点C，由l平面AOB知ACB是二面角-l-的平面角.因为四边形OACB是矩形,所以ACB=90，所以.【拓展提升】1.垂直关系之间的相互转化2.平行关系与垂直关系之间的相互转化【变式训练】(2012江苏高考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且ADDE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE平面BCC1B1.(2)直线A1F平面ADE.【证明】(1)D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且ADDE,
15、又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以有BB1平面ADC,即有ADBB1.又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交,所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE,所以平面ADE平面BCC1B1.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,所以有AB=AC.又由(1)知AD平面BCC1B1,所以ADBC,所以D为边BC上的中点,连接DF,得AA1FD为平行四边形,故A1FAD,又AD平面ADE,A1F平面ADE,所以直线A1F平面ADE.空间角、距离的计算问题【典型例题】1.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置,使点A在平面BCD
16、内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线AB与CD所成角的大小为.2.(2013攀枝花高一检测)如图所示,正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直,G是AF的中点.(1)求证:EDAC.(2)若直线BE与平面ABCD成45角,求异面直线GE与AC所成角的余弦值.【解析】1.如题图所示,由AO平面ABCD,可得平面ABC平面ABCD,又由DCBC,可得DC平面ABC,所以DCAB,即得异面直线AB与CD所成角的大小为90.答案:902.(1)由矩形ADEF可知EDAD,又因为平面ADEF平面ABCD,得到ED平面ABCD,从而有EDAC.(2)由(1)知:ED平面ABCD,所以EBD是直线B
17、E与平面ABCD所成的角,即EBD=45,设AB=a,则DE=BD=a,取DE中点M,连接AM,因为G是AF的中点,所以AMGE,所以MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角，连接BD交AC于点O，因为O是AC的中点，所以MOAC，所以即异面直线GE与AC所成角的余弦值为【拓展提升】1.与面面垂直有关的计算问题的类型(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、二面角等.(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等.(3)求几何体的体积或平面图形的面积.2.空间角、距离的计算问题的解决方法(1)空间角、距离的计算问题一般在三角形中求解.所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然
18、后转化为线线垂直.往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题.(2)作二面角的平面角常用方法如图所示，过P作PO,垂足为O，过O作OAl于A，连接AP，则PAO为二面角-l-的平面角.此法的关键是作垂线PO，高考题中利用面面垂直的性质定理作线面垂直是一种常见的命题方式.【规范解答】面面垂直性质的应用【典例】【条件分析】【规范解答】(1)如图，因为SD平面ABCD，故BCSD，又BCBD，所以BC平面BDS，所以BCDE.2分作BKEC，K为垂足，由平面EDC平面SBC，平面EDC平面SBC=EC，故BK平面EDC.又DE平面EDC,所以BKDE.4分又因为BK平面SBC,BC平面SBC,B
19、KBC=B,所以DE平面SBC.6分(2)由(1)知DESB,所以在直角三角形SDB中,由等积法知SDDB=SBDE，所以10分所以SE=2EB.12分【失分警示】【防范措施】1.转化意识在证明时要善于把已知条件转化,如本例中的面面垂直,则需转化为线面垂直进而得出线线垂直.2.计算能力在解题时要注意条件的应用及计算能力的培养,如本例中处的计算是证明(2)的关键.【类题试解】正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EFAC,AB=,CE=EF=1.求证:CF平面BDE.【证明】设ACBD=G,连接FG,因为EFCG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形,所以CFEG.由
20、四边形ABCD为正方形,得BDAC.又平面ACEF平面ABCD且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF,所以BDCF.又BDEG=G,故CF平面BDE.1.已知平面平面,=l,点A,Al,直线ABl,直线ACl,直线m,m,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()A.ABm B.ACmC.AB D.AC【解析】选D.如图所示:ABlm;ACl,mlACm;ABlAB.但是AC与不垂直.2.(2013广东高考)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则【解析】选D.对于选
21、项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能,但未必垂直;对于选项B,分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项D,m,mn,则n;又因为n,则内存在与n平行的直线l,因为n,则l,由于l,l,所以.3.平面平面,直线l,直线m,则直线l,m的位置关系是.【解析】根据题意,l,m可能相交、平行或异面.答案:相交、平行或异面4.如图,=l,AB,ABl,BC,DE,BCDE.求证:ACDE.【证明】因为,=l,AB,ABl,所以AB,又DE,所以ABDE,因为DEBC,所以DE平面ABC,所以DEAC.
