1、考点测试 17 定积分与微积分基本定理 高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 2了解微积分基本定理的含义 一、基础小题 1计算：01(ex2x)dx()A1 Be1 CeDe1答案 C解析 01(ex2x)dx(exx2)10e故选 C2若1a2x1x dx3ln 2(a1)，则 a 的值是()A2 B3 C4 D6答案 A解析 1a2x1x dx(x2ln x)a1a2ln a13ln 2，即 a23设 f(x)(e 为自然对数的底数)，则0ef(x)dx()A43B23C23D43答案
2、 D解析 依题意得，0ef(x)dx01x2dx1e1xdx13x310ln xe1131434已知函数 yf(x)的图象为如图所示的折线 ABC，则11(x1)f(x)dx()A2 B2 C1 D1答案 D解析 由图易知 f(x)所以11(x1)f(x)dx01(x1)(x1)dx10(x1)(x1)dx01(x22x1)dx10(x21)dx13x3x2x0113x3x1013231，故选 D5设 f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间a，a上的定积分为aaf(x)dx，由定积分的几何意义和性质，得aaf(x)dx 可表示为()Aaaf(x)dx B20af(x)dxC120af
3、(x)dx D0af(x)dx答案 B解析 偶函数的图象关于 y 轴对称，故aaf(x)dx 对应的几何区域关于 y 轴对称，因而其可表示为 20af(x)dx，应选 B6设函数 f(x)ax2b(a0)，若03f(x)dx3f(x0)，则 x0 等于()A1 B 2C 3D2答案 C解析 03f(x)dx03(ax2b)dx13ax3bx 309a3b，9a3b3(ax20b)，即 x203，x0 3，故选 C7给出如下命题：badxabdtba(a，b 为常数，且 a0)其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3答案 B解析 由于badxab，abdtba，所以错误；由定积分的几何意义
4、知，01 1x2dx 和01 1x2dx 都表示半径为 1 的圆的14面积，所以都等于4，所以正确；只有当函数 f(x)为偶函数时，才有aaf(x)dx20af(x)dx，所以错误故选 B8由抛物线 yx24x3 及其在点 M(0，3)和点 N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为()A94B92C74D2答案 A解析 由 yx24x3，得 y2x4，yx04，在 M 点处的切线方程为 y4x3；yx32，在 N 点处的切线方程为 y2x6又两切线交点的横坐标为 x32，故所求面积 S3204x3(x24x3)dx2x6(x24x3)dx320 x2dx(x26x9)dx13x332013
5、x33x29x332949曲线 ysinx，ycosx 与直线 x0，x2所围成的平面区域的面积为()A20(sinxcosx)dx B240(sinxcosx)dxC240(cosxsinx)dx D20(cosxsinx)dx答案 C解析 当 x0，4 时，cosxsinx，当 x4，2 时，sinxcosx，故所求平面区域的面积为40cosxsinxdx24(sinxcosx)dx，数形结合知40(cosxsinx)dx24(sinxcosx)dx故选 C10一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度 v(t)5t 551t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)紧急刹车至停
6、止在此期间火车继续行驶的距离是()A55ln 10 mB55ln 11 mC(1255ln 7)mD(1255ln 6)m答案 B解析 令 5t 551t0，注意到 t0，得 t10，即经过的时间为 10 s；行驶的距离 s100 5t 55t1 dt5t12t255ln t1 10055ln 11，即紧急刹车后火车运行的路程为 55ln 11 m1120sin2x2dx_答案 412解析 20sin2x2dx201cosx2dx12x12sinx2041212由曲线 y2x2，直线 yx 及 x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是_答案 4 23 76解析 把阴影部分分成两部分(y
7、 轴左侧部分和右侧部分)求面积易得 S0 2(2x2)dx01(2x2x)dx2xx33 0 22xx33 x22 102 2 233213124 23 76二、高考小题13(2014山东高考)直线 y4x 与曲线 yx3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 2B4 2C2 D4答案 D解析 由得 x0 或 x2 或 x2(舍)S02(4xx3)dx2x214x4 20414(2014湖北高考)若函数 f(x)，g(x)满足11f(x)g(x)dx0，则称 f(x)，g(x)为区间1，1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sin12x，g(x)cos12x；f(x)x1，g(x)x1
8、；f(x)x，g(x)x2其中为区间1，1上的正交函数的组数是()A0 B1 C2 D3答案 C解析 由得 f(x)g(x)sin12xcos12x12sinx，是奇函数，所以11f(x)g(x)dx0，所以为区间1，1上的正交函数；由得 f(x)g(x)x21，所以11f(x)g(x)dx11(x21)dxx33 x 1143，所以不是区间1，1上的正交函数；由得 f(x)g(x)x3，是奇函数，所以11f(x)g(x)dx0，所以为区间1，1上的正交函数故选 C15(2014湖南高考)已知函数 f(x)sin(x)，且23 0f(x)dx0，则函数 f(x)的图象的一条对称轴是()Ax56
9、Bx712Cx3Dx6答案 A解析 由23 0f(x)dx23 0sin(x)dxcos(x)23 0cos23 cos0，得32cos 32 sin 从而有 tan 3，则 n3，nZ，从而有 f(x)sinxn3 (1)nsinx3，nZ 令 x3k2，kZ，得 xk56，kZ，即 f(x)的图象的对称轴是 xk56，kZ故选 A 16(2015天津高考)曲线 yx2 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为_ 答案 16 解析 曲线 yx2 与直线 yx 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，由yx，yx2 解得 x0 或 x1，所以 S01(xx2)dx12x213x3 101213161
10、7(2015陕西高考)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_答案 65解析 建立直角坐标系，如图 过 B 作 BEx 轴于点 E，BAE45，BE2，AE2 又 OE5，A(3，0)，B(5，2)设抛物线的方程为 x22py(p0)，代入点 B 的坐标，得 p254，故抛物线的方程为 y 225x2 从而曲边三角形 OEB 的面积为 05 225x2dx2x375 50103 又 SABE12222，故曲边三角形 OAB 的面积为43，从而图中阴影部分的面积为83 又易知等腰梯形 ABCD 的面积为610
11、2216，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1616836518(2014辽宁高考)正方形的四个顶点 A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分别在抛物线 yx2 和 yx2 上，如图所示若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是_答案 23解析 由对称性可知 S 阴影S 正方形 ABCD401x2dx22413x310 83，所以所求概率为83423三、模拟小题19(2018安徽淮南一模)求曲线 yx2 与 yx 所围成的封闭图形的面积 S，正确的是()AS01(x2x)dx BS01(xx2)dxCS01(y2y)dy DS01(y y)d
12、y答案 B解析 两函数图象的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故对 x 积分时，积分上限是1，下限是 0，由于在0，1上，xx2，故曲线 yx2 与 yx 所围成的封闭图形的面积 S01(xx2)dx(同理可知对 y 积分时，S01(yy)dy)20(2018湖北孝感模拟)已知1e1xmdx3e2，则 m 的值为()Ae14eB12C12D1答案 B解析 由微积分基本定理得1e1xmdx(ln xmx)e1m1me，结合题意得 m1me3e2，解得 m12故选 B21(2018河南郑州一模)汽车以 v(3t2)m/s 做变速运动时，在第 1 s 至第2 s 之间的 1 s 内经过的路程是()A
13、5 mB112 mC6 mD132 m答案 D解析 根据题意，汽车以 v(3t2)m/s 做变速运动时，汽车在第 1 s 至第 2 s之间的 1 s 内经过的路程 s12(3t2)dt3t22 2t21132 m，故选 D22(2018山西联考)函数 yx21 的图象如图所示，则阴影部分的面积是()A01(x21)dxB02(x21)dxC02|x21|dxD01(x21)dx12(1x2)dx答案 C解析 所求面积为01(1x2)dx12(x21)dx 02|x21|dx23(2018河北五校联考)若 f(x)ff(1)1，则 a 的值为()A1 B2 C1 D2答案 A解析 因为 f(1)
14、lg 10，f(0)0a3t2dtt3a0a3，所以由 ff(1)1 得：a31，a1，故选 A 24(2018宁夏质检)已知 1sin 1cos2 2，若 0，2，则1tan(x22x)dx()A13B13C23D23 答案 C 解析 由 1sin 1cos22sincos22sincos2sin42sin2，因为 0，2，所以 4，所以 tan1，故1tan(x22x)dx11(x22x)dxx33x21123 25(2018陕西模拟)01(2x1x2)dx_ 答案 14 解析 01 1x2dx 表示以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的14，01 1x2dx4 又012xdxx2101
15、，01(2x1x2)dx012xdx01 1x2dx14 26(2018河北衡水中学六调)曲线 yx33x 和直线 yx 所围成的图形的面积是_ 答案 8 解析 由得交点的坐标分别为(0，0)，(2，2)，(2，2)，作出草图如图，可知曲线 yx33x 和直线 yx 围成图形的面积 S202x(x33x)dx202(4xx3)dx22x214x4202(84)8 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、模拟大题 1(2018云南月考)用 mina，b表示 a，b 两个数中的较小的数，设 f(x)minx2，x，那么由函数 yf(x)的图象、x 轴、直线 x12和直线 x4 所围成的
16、封闭图形的面积是多少？解 如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积 Sx2dxxdx13x311223x3241 724143 11924 2(2018甘肃天水月考)在区间0，1上给定曲线 yx2试在此区间内确定点 t的值，使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小，并求最小值 解 面积 S1 等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 yx2 与 x 轴、直线 xt所围成的面积，即 S1tt20tx2dx23t3 S2 的面积等于曲线 yx2 与 x 轴，xt，x1 围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为 t2，1t，即 S2t1x2dxt2(1t)23t3t213 所以阴影部分面积 SS1S243t3t213(0t1)令 S(t)4t22t4tt12 0 时，得 t0 或 t12 t0 时，S13；t12时，S14；t1 时，S23 所以当 t12时，S 最小，且最小值为14
