1、试卷第 1 页，总 4 页永春一中高三年数学周末训练卷（3）2021.9.16班级：_座号：_姓名：_1在正四面体 ABCD中，P Q,分别是棱 AB CD,的中点，E F,分别是直线 AB CD,上的动点，且满足PEQFa，M 是 EF 的中点，则点 M 的轨迹围成的区域的面积是（）A a42B a22C a42D a222已知向量a，b 满足ab3，a b0，若Rcab(1)()，且 c ac b，则 c 的最大值为（）A3B2C 21D 233已知定义域为 R 的函数 f x在2,单调递减，且fxf x40，则使得不等式f xx2fx20成立的实数 x 的取值范围是（）A x41B x1
2、或x3C x3或x1D x4或x14已知函数f xexxxaxx()ln32满足f x()0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A(,eB (,2C2,eD 2,25若 x，a，b 均为任意实数，且ab23122，则xaxb()(ln)22的最小值为（）A3 2B18C3 21D196 26若直线ykxb是曲线yex 2 的切线，也是曲线yex1的切线，则 kb（）A 2ln2B 21 ln2C2ln2 1D 2ln27若函数f xx eaxaxx2ln12有2 个零点，则实数 a 的取值范围是（）Ae0,Be0,2 Ce,De2,8数学中一般用a bmin,表示、ab 中的较小值，关于函数f
3、xxxxx()minsin3cos,sin3cos 有如下四个命题：f x()的最小正周期为；f x()的图像关于直线 x23 对称；f x()的值域为 2,2；f x()在区间 6 4,上单调递增；其中是真命题的个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个9如图所示，已知平面四边形 ABCD，ABBC3，AD1，CD5，ADC2 沿直线 AC 将 ABC 翻折成ABC，下列说法正确的是（）A B D AC2C直线 AC 与B D 成角余弦的最大值为66试卷第 2 页，总 4 页B1B C AD D点C 到平面 AB D的距离的最大值为210710已知函数 cosxf xexax aR，则下列选
4、项正确的是（）A当1a 时，由线 f x 在0 x 处的切线方程为22yxB当1a 时，函数 f x 在上单调递增C当0a 时，函数 f x 在区间,上有一个零点 D当0,x 时，2f x 恒成立，则1a 11定义在 R 上的函数()(),()22(2)f xxg x g xxgx ,若在区间 1,)上为增函数,且存在20t ,使得(0)()0ff t.则下列不等式一定成立的是A21(1)()2f ttf B(2)0()ff tC(2)(1)f tf tD(1)()f tf t12设函数 f x 满足：21,0,log,02,xf xxx；22f xf x；22fxfx当0 x 时，函数 f
5、x 与函数,0,1k b交点的横坐标从左到右依次构成数列 na，则下列结论正确的是（）A函数 f x 的值域为 0,1C对任意的k，0,1b，数列 na的前n 项和0nS B函数 f x 是偶函数D当0k，0b 时，满足1128niia的n 的最小值为 1713已知平面向量,0,0 ，与的夹角为 23，且0ttt，则t 的最小值是_14如图，四棱锥 PABCD的底面是边长为 2 的正方形，PA 底面，2PA，若在四棱锥内挖掉一个体积最大的圆柱，则剩余几何体的表面积等于_15已知123,e e e 是平面向量，且12,e e 是互相垂直的单位向量，若对任意R 均有31ee的最小值为32ee，则1
6、23323eeeee的最小值为_16已知函数 22,1ln,1xax xf xax xx.当1x 时，若函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围是_；若函数的最大值为 1，则a _.17在中，5cos5C.（1）若3AB ACBA BC，求 tan A的值；（2）设向量2sin,3xB，2cos2,1 2sin 2ByB，且/x y，求sin BA的值.试卷第 3 页，总 4 页18已知数2()3sin2sin1(0)6212xf xx的相邻两对称轴间的距离为 2.（1）求的解析式；（2）将函数的图像向右平移 6 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数()yg x的图像，当
7、,12 6x 时，求函数()g x 的值域.（3）对于第（2）问中的函数()g x，记方程4()3g x 在4,63x，上的根从小到依次为12,nx xx，试确定 n 的值，并求1231222 nnxxxxx的值.19已知向量33cos,sin22xxa ，cos,sin22xxb，函数 1f xa bm ab ，,3 4x ，mR（1）当0m 时，求6f 的值；（2）若 f x 的最小值为 1，求实数m 的值；（3）是否存在实数m，使函数 22449g xf xm，,3 4x 有四个不同的零点？20已知函数 2(1)2.f xxx（1）求 f x 的单调区间；（2）当01x时，证明：242l
8、n27f xx.试卷第 4 页，总 4 页21已知函数()e(1)xf xx.（1）求函数的单调区间；（2）若，为不相等的实数，且eeeebaabba，证明：0ab.22设偶函数 5cos sin5sin4tan3 sin5sinf xxxx（为常数）且的最小值为 6（）求cos2cos4的值；（）设 2g xfxfx，0，0，且 g x 的图象关于直线6x 对称和点 2,3 33对称，若 g x 在0,24 上单调递增，求 和 的值答案第 1 页，总 12 页参考答案1B 如图所示，正四面体中，取 BC、BD、AD、的中点G、H、K、L，因为 P、Q 分别是棱 AB，CD的中点，所以 PQ的
9、中点O 也为定点；由对称性知，PQ和的中点都在中截面GHKL（正方形）上；由OMOP PEEMOQ QFFM，所以1()2OMPE QF,设在中截面上的投影分别为,E F,所以1()2OMOEOF，所以点是线段 E F 的中点，作/,/aCD bAB，则90E OF，因为，所以1,OEOFa取2aORON，所以+OR ONa，两式相减得 RENF，过点 E 作/E SRN，所以 RENS，所以 RENSNF,所以 E F 的中点在 RN 上，同理 E F 的中点在,NT TW WR 上，因为22112()()222RNaaa，即动点的轨迹就是边长为22 a 的正方形 RNTW，所以其轨迹围成的
10、区域的面积是2221()22aa故选：B2D 如图:令 aAM，bMBAN，则 abAMMBAB，故3AB.因为，所以 AMMB，记 AB 的中点为O，所以点在以 AB 为直径的圆O 上.设cAC，连接 MN，因为(1)cab，所以点C 在直线MN 上.因为，所以)0(cab，即0AC NM，所以 ACMN.结合图形可知，当 NMAB时，|AC 即取得最大值，且max3|2cAO.3D 解：，则关于2,0 对称，因为在单调递减，在上单调递减，又242fxfx 222042()0(f xxfxf xxfx，2()42f xxfx，2421xxxx 或，故选：D.4B 由题意，函数满足恒成立，可得
11、32lnxaxexxx恒成立，即3lnxeaxxx，答案第 2 页，总 12 页设33 ln()lnlnxxxeg xxxexxx，又由函数()(1)1xxh xexex ，可得()1xh xe，当0 x 时，可得()10 xh xe，所以()h x 为单调递增函数，且(0)0h，所以0 x 时，可得()(0)0h xh，即1xex，则3 ln()ln(3 ln1)ln2xxg xexxxxxx ，当且仅当3 ln0 xx，即3 lnxx 时取“=”号，所以2a ，即实数的取值范围是.5D 由，可得,a b 在以2,3为圆心，以 1 为半径的圆上，又由表示点,a b 与点,lnxx 的距离的平
12、方，设过切点,lnmm 的切线与过2,3的法线垂直，可得 ln3 112mmm ，整理得2ln23mmm，设 2ln2,(0)f mmmm m，可得 1220fmmm，所以函数 f m 在(0,)上单调递增，且 13f，所以切点为1,0，则圆心与切点的距离为2212033 2d 可得的最小值为23 21196 2.6D 设曲线上的点11(,)P x y，2xye ，1 21xke；曲线上的点22(,)Q xy，exy，22xke；11122211xxxlyexex e：，222221xxxlye xex e：121122222121xxxxxxeeex eex e，2ln2x，2222111l
13、n 21(ln 2)2222xxxkbeex e 7D 函数的定义域为0,，则 221222222xxxaaxafxxx eaxxex exxx，令 22xag xx e，则 220 xgxxx e，所以，函数 g x 在0,上为增函数，且 02ag.答案第 3 页，总 12 页当02a时，即当0a 时，0fx对任意的0 x 恒成立，所以函数 f x 为0,上的增函数，则函数 f x 在0,上至多只有一个零点，不合乎题意；当2a 0 时，即当0a 时，则存在00 x 使得 020002xag xx e，当00 xx时，0g x，此时 0fx，则函数 f x 在00,x上单调递减，当0 xx时，
14、0g x，此时 0fx，则函数 f x 在0,x 上单调递增，由于函数 f x 有两个零点，当0 x时，f x ；当 x 时，f x .可得000222000000111lnlnln1 ln02222222xxxaaaaf xx eaxaxx eax ea，可得 2ae，解得2ae.8B 设 sin3cos2sin3g xxxx，sin3cos2sin3h xxxx，则 32sin,22322min,2sin,22322xkxkf xg xh xxkxk，函数 f x 的图象如下所示：对，由图知，函数 f x 的最小正周期为，故 A 错误；对，由图知：为函数 f x 的对称轴，故正确.对，12
15、f，由图知：函数 f x 的值域为2,1，故错误；对，26f，12f，由图知：函数 f x 在区间上单调递增，故正确.9AC 取的中点O，连接,OB OD因为沿直线将翻折成，且，所以226ACADCD，1622ODOAAC，所以302OB，答案第 4 页，总 12 页因为2AOB，所以1sin6ACD，22coscos21 2sin3AODACDACD，取,aOA bOB cOD作为基底，由已知得630,22acb，2,cos,23a ba cb c，结合图形与诱导公式可知55cos33（当半平面 ACD 与半平面 ACB反向时取得最小值，同向时取得最大值），所以 662222202223B
16、D ACcbaa ca b ，故 A 正确 2B C ADabcaa cab ca b 26626306cos01223222 故 B 错误22293 5 cosB Dcbcc bb 设直线与所成的角为 ，则2cos693 5 cosB D ACB DAC当5cos3时，分母最小，故cos 的值最大为2665693 53，故 C 正确当 B 绕转到CDBD时，即22352BD 时，点 C 到平面 AB D的距离小于等于，结合CDAD，可知CD 平面 AB D，而此时，有3ABBDAD，故平面 AB D不存在，故 D 错误.故选：AC.10ABCD 对于 A，当1a 时，cosxf xexx，s
17、in1xfxex，则 02f，02f，所以切线方程为22yx，故 A 正确；对于 B，由 sin10 xfxex，所以 f x 在上单调递增故 B 正确；对于 C，当0a 时，cosxf xex，当0,x时，1xe ，故cos0 xex，故 f x 在0,上无零点；当,0 x 时，sinxfxex，因为 sin0 x，0 xe，故 0fx，因此 f x 在,0上单调递增因为10fe，020f，故存在唯一0,0 x 使得00f x答案第 5 页，总 12 页综上知，f x 在区间,上有一个零点故 C 正确；对于 D，当0,x 时，sinxexafx，当0a 时，因为1xe ，sin1x ，0a，
18、故 0fx，所以 f x 在0,上单调递增，故 02f xf，符合题意；当01a 时，令 sin0,xgexxa x，cos1 cos0 xgexxx，故 g x 在0,上单调递增，故 010g xga，故 0fx，因此 02f xf，符合题意；当1a 时，010ga，sin1aag aeaaea，令 11ah aea a，10ah ae，故 120h ahe，故 0g a，存在00,xa，使得 00g x，故 f x 在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，当00,xx时，02f xf，与题意矛盾，故1a 不符合题意综上，1a 符合题意故 D 正确11ABC因为()(),()22(2)f
19、 xxg x g xxgx 所以(2)2(2)2()22()()fxxgxxg xxg xxf x 所以关于1x 对称，所以(0)(2)ff又因为在区间 1,)上为增函数，20t 所以(0)(2)()fff t因为(0)()0ff t所以()0,(2)(0)0f tff所以选项 B 成立因为2231120224ttt 所以21tt 比离对称轴远所以21(1)()2f ttf，所以选项 A 成立因为2232250ttt所以32tt，所以2t 比1t 离对称轴远所以(2)(1)f tf t，即 C 答案成立因为 20t ，所以222123ttt 符号不定所以2t，1t 无法比较大小，所以(1)()
20、f tf t不一定成立所以 D 答案不一定成立故选：ABC12BCD答案第 6 页，总 12 页A：当13x 时，得2211loglog 3133 f，错误；B：设0 x，0 x，则 222222 fxfxfxfxf x，故函数 f x 是偶函数，正确；C：对k，0,1b，由总与图象在第一象限有交点，如下图示，数列 na的前n 项和0nS，正确；D：由可知，函数 f x 是周期为 4 的周期函数，且42xmmN为周期内的对称轴而0,1b时161426 10 14128iia要使1128niia，则n 取到的最小值为 17，正确.故选：BCD132 33如图，设圆O 半径为，,A B C 在圆O
21、，设(3,1)C，(3,1)B，3BAC，CB，CA，设(2cos,2sin)A，7(,)66 ，(2 3,0)，(2cos3,2sin1)，由tt得222()tt，因为0t，所以212332 3324 3(2cos3)2cos323t，cos1 时等号成立14884 29如图，在四棱锥 PABCD内作出正四棱柱 AMNKHEFG，其中点 E，F，C，H，K 分别在棱 PB，PC，PD，PA，AB，AD 上，则要使挖掉的圆柱体积最大，则需其底面圆为正四棱柱 AMNKHEFG底面的内切圆，连接 HF，设挖掉的圆柱的底面圆半径为r，高为h，则2 2HFr，AHh连接，易知点 N 在上、在平面 PA
22、C 内，易知/HF AC，则 HFPHACPA，即 2 2222 2rh，即2122hhr，故挖掉的圆柱的体积223214424hVr hhhhh，02h则2(384)(2)(32)44Vhhhh，当203h时，0V，当 223h时，0V，答案第 7 页，总 12 页所以当23h 时，挖掉的圆柱体积最大，此时23r，故剩余几何体的表面积等于四棱锥的表面积与圆柱的侧面积之和，即剩余几何体的表面积1122 222 2 222S 22282284 2+284 2339rh 1532222222313313132223+22eeee eeeeee ee，即21 32 3221 0 e ee e，所以2
23、1 32344 210 e ee e，即21 32 321 0 e ee e，设1e 为轴的方向向量，2e 为 y 轴方向向量，所以312exeye，对应的坐标为(,)x y，所以2210 xy，得212()2xy；123323(1,3)(,)(,)(0,1)eeeeex yx y，因为212()2xy为抛物线22xy向上平移个单位，所以焦点坐标为(0,1)，准线为0y，所以点(,)x y 到(0,1)的距离与到0y 的距离相等，(1,3)(,)(,)(0,1)=1,333x yx yxyyyy，当且仅当1xy 时，取最小值.16(,1)1当1x 时，2()2f xxax.()22fxxa，令
24、()0fx，解得 xa.因为函数在(,1)有且只有一个极值点，所以1a .当0a 时，2,1()0,1xxf xx，此时max()0fx，舍去.当0a 时，1x，ln()0axf xx.1x ，222()2()f xxaxxaa .2max()()fxf aa.所以21a ，因为0a ，所以1a .当0a 时，1x，ln()axf xx.2(1 ln)()axfxx，令()0fx，解得ae.1,)xe，()0fx，为增函数，(,)xe，()0fx，为减函数.max()()afxf ee.当1x 时，222()2()f xxaxxaa ，所以，（1）当01a 时，2max()()fxf aa；当
25、2aae时，即1ae，2max()1fxa，解得1a（舍去）.当2aae时，即10ae，max()1afxe，解得ae（舍去）；(2)当1a 时，21f xa，只有max()1afxe 且21aae ，这样的不存在答案第 8 页，总 12 页综上所述：1a .17（1）1；（2）2 51510.因为在中，5cos5C，所以2 5sin5C，tan2C.(1)若3AB ACBA BC，则cos3cosbcAacB，cos3 cosbAaB，tan3tanBA.2tantan4tantantan21 tantan3tan1ABACABABA 23 t a n2 t a n10AA，解得 tan1A
26、 或1tan3A .若1tan3A ，则2A，tan3tan1BA ，34B，AB，不符合题意，舍去.所以 tan1A .(2)因为/x y，所以2sincos3cos2BBB，tan23B ，所以223B，3B.2 51532 515sinsinsin3525210BABBCC.18（1）由题意，函数2 1()3sin()2sin1626f xxx3sin()cos()2sin2sin6666xxxx因为函数图像的相邻两对称轴间的距离为 2，所以T，可得2w.故 2sin2f xx（2）将函数的图像向右平移 6 个单位长度，可得2sin 23yx的图像.再把橫坐标缩小为原来的，得到函数()2
27、sin 43yg xx的图像.当,12 6x 时，24,333x ，当 432x 时，函数()g x 取得最小值，最小值为 2，当 433x时，函数()g x 取得最大值，最大值为 3，故函数()g x 的值域 2,3.（3）由方程4()3g x，即42sin 433x，即2sin 433x，因为4,63x，可得4,533x，设43x，其中,53，即2sin3，结合正弦函数siny的图像，答案第 9 页，总 12 页可得方程2sin3 在区间,53 有 5 个解，即5n ，其中122334453,5,7,9 ，即12233445443,445,447,44933333333xxxxxxxx解得
28、1223344511172329,12121212xxxxxxxx所以 1212345233445223220 xxxxxxxxxxxxx.19因为33cos,sin22xxa ，cos,sin22xxb，所以333coscossinsincoscos2222222xxxxxxa bx，33coscos,sinsin2cos cos,2cos sin222222xxxxxxabxx，222cos cos2cos sin2 cos22xxabxxx.(1)当0m 时，1cos21f xa bx ，有13cos 21cos1166322f .(2)因为,3 4x ，所以1cos,12x，则 21c
29、os22cos12cos2cosf xa bm abxmxxmx ，令costx，则 112t ，则222ytmt，函数图象开口向上，对称轴2mt，当122m，即1m 时，222ytmt在 1,12 上单调递增.当12t 时，函数取得最小值，此时最小值112ym ，解得32m(舍去)；当 1122m，即12m 时，当2mt 时，函数取得最小值，此时最小值2212mym ，解得2m，或2m (舍去)；当12m ，即2m 时，222ytmt在 1,12 上单调递减.当1t 时，函数取得最小值，此时最小值221ym ，解得32m(舍去).综上可知，若 f x 的最小值为 1，则实数2m.答案第 10
30、 页，总 12 页（3）令 22242cos2cos049g xxmxm，得3cos7mx 或 47m，所以方程3cos7mx 或 47m 在,3 4x 上有四个不同的实根，则23127241273477mmmm，得7 27637 27840mmm，则 7 2764m，即实数 m 的取值范围是 7 2 7,6420（1）解：311fxxx，令 0fx，得 11;x 令 0fx，得或.故 f x 的单调递减区间为1,1，单调递增区间为,1,1,.（2）证明：22(1)2(1).f xx xx设函数 2(1)(01)g xx xx，则 1 31gxxx，令 0gx，得 11;3x令 0gx，得10
31、3x.所以max14()327g xg，则当01x时，427g x设函数 1 ln(01)h xxxx，则 1 0 xh xx，所以 h x 在(0，1上单调递减，则 1 ln10h xxx h，即01 lnxx，所以22(1)lnxx，即222ln2(1).xx因为 24(1)27g xx x，所以2224(1)2ln2(1)27x xxx又 113 ，所以 242ln.27f xx21（1）解：由()e(1)xf xx，则 exfxx.令 0fx，解得0 x；令 0fx，解得0 x.所以的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为(0,).（2）证明：对等式eeeebaabba，左右两边同时除
32、以ea b，可得 11eeeeabbaba，所以 111()1()eeabab ，即e 1()e 1()abab ，即()()fafb.不妨设1ax，2bx，且12xx，即 12f xf x.由图象可知10 x，20 x，要证0ab，即证()()0ab，即证120 xx，即证12xx.答案第 11 页，总 12 页因为在区间(,0)上单调递增，所以即证 12f xfx，又因为 12f xf x，所以即证22f xfx，即证220f xfx.设()()()e(1)e(1)xxg xf xfxxx且0 x，则1()eexxg xx ，因为在0 x 时11e1,01,e0eexxxx，所以1()e0
33、exxg xx 恒成立，所以()g x 在区间(0,)上单调递减，所以()(0)0g xg，所以()()()0g xf xfx，即0ab得证.22（）化简得：5cos sin4tan3 sin5sinf xxx，为偶函数，有4tan30 ，得3tan4，故3sin5 ，5cos sin5sin5sincos1f xxx2cos10 x ，最小值为-6，所以3sin5，4cos5 所以，22cos2cossin7 22 cossin522coscossin422（）2g xfxfx5 sincos15sincos12xx3cossin3 3xx，由 g x 的图象关于直线6x 对称，也关于点 2,3 33对称，可知，2()()3 333gg 3 cos3sin033223 cos3sin033，22tantantan()333，233k，kN，tan,3kkN0，31()knnN 3,31()nnN()3 3cos3sin3 3 36sin()3 3 33xxxxg 024x33243x答案第 12 页，总 12 页 g x 在0,24 上单调递增，2432，4，0,1,1,4n，经检验，4 时，不满足对称性，舍去，3,1
