1、专题16数列求和裂项相消1. 等差数列前项和为，且，求数列的通项公式；设数列的前项和为，若，求的最小值2. 设数列的前项和为，己知，是公差为的等差数列求的通项公式；设，求数列前项和3. 已知数列为公差不为的等差数列，且，成等比数列求数列的通项公式设为数列的前项和，令，求数列的前项和4. 已如各项均为正数的数列的前项和为，且，且求数列的通项公式；证明：当时，5. 设为数列的前项和，已知求的通项公式令，求数列的前项和6. 在数列中，求数列的通项公式；求满足不等式成立的的最大值7. 已知正项数列的前项和为求的通项公式；若数列满足：，求数列的前项和8. 已知在数列，中，设数列的前项和为，若，求和：；若
2、数列为等差数列，且公差，求证：答案和解析1.【答案】解：设等差数列的公差为，首项为，则，解得，所以数列的通项公式为，由题得，解得，因为，所以的最小值是【解析】本题考查了等差数列的通项公式，裂项相消法求和的问题，属于基础题根据题给的等式求解出数列的首项和公差，再写出通项公式即可；根据数列的通项公式求解数列的通项公式，进而求解其前项和，最后根据不等式的知识求解的最小值2.【答案】解：依题意，由于是公差为的等差数列，则，即当时，而满足上式，则数列的通项公式是由知，数列的前项和【解析】本题考查等差数列的通项公式，数列的前项和，裂项相消法求和，属于中档题利用等差数列通项公式求出，再利用前项和求数列的通项
3、；由求出，再利用裂项相消法求解3.【答案】解：设数列的公差为，则，由题意可得：解得：数列的通项公式为；由，设数列的前项和为，所以数列的前项和【解析】本题考查数列的递推关系，考查等差数列的通项公式，等比数列的性质，考查数列的求和及裂项相消法，考查分析与计算能力，属于中档题结合等比数列的性质，利用等差数列通项公式将条件转化为，公差的方程，解方程求出，由此可得数列的通项公式；由可得，结合裂项相消法可求数列的前项和4.【答案】解：由，得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，当时，当时，也满足上式，所以；证明：当时，所以【解析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，放缩法的应用，考
4、查计算能力，属于中档题由，说明数列是以为首项，以为公差的等差数列，然后求解，推出；当时，化简，结合放缩法，转化求解数列的和，推出结果5.【答案】解：当时，当，得：，数列是以为首项，为公差的等差数列，；，【解析】本题考查数列通项公式以及前项和的求法，考查了裂项相消法的应用，属于中档题首先取，求出首项，然后利用，判断出数列为等差数列，求得通项公式；由得到数列的通项公式，利用裂项相消求和得到所求6.【答案】解：由条件得，所以数列是以为首项，公差的等差数列故，即由知，故，所以，解得，结合得，的最大值是【解析】本题考查数列的通项公式及裂项相消求和，属于中档题由条件得，即可得数列是以为首项，公差的等差数列
5、，从而可求得数列的通项公式；由知，求和可得，求解即可得的最大值7.【答案】解：由题知：，两式相减得：，所以，所以，由正项数列，得，又因为，所以，因为，解得：，所以适合式，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以由得：，所以，得：，所以，又由式得，适合上式，所以，所以，所以【解析】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的判定及通项公式，以及裂项相消求和法的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题由数列的递推关系，可得是以为首项，为公差的等差数列，由此可得的通项公式；由题意，可推导出，从而可得，由此利用裂项相消求和可得答案8.【答案】解：当时，又，两式相减可得，化为，可得是首项为，公比为的等比数列，则，则；证明：若数列为等差数列，且公差，可得，则，因为，所以，则【解析】本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项相消求和，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于较综合的中档题由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式、求和公式，计算可得所求和；推得，由数列的裂项相消求和及不等式的性质，即可得证