1、专题15等差数列与等比数列B卷一、单选题1. 已知数列和首项均为,且,数列的前项和为,且满足,则()A. B. C. D. 2. 设等差数列的前项和为,若,且,则的值为()A. B. C. D. 3. 已知数列,满足,则数列的前项和为()A. B. C. D. 4. 等比数列的首项,前项和为,若,则数列的前项和为()A. B. C. D. 5. 已知数列为等差数列,其前项和为,若,则满足的正整数的个数为()A. B. C. D. 6. 已知等比数列满足,数列为等差数列,其前项和为,若,则()A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和,公差,记,下列等式不可能成立的是()A. B. C.
2、 D. 二、多选题8. 已知数列满足,是数列的前项和,则下列结论正确的有()A. B. 数列是等比数列C. 数列是等差数列D. 9. 已知为等差数列的前项和,且满足,若数列满足,则()A. B. 的最小值为C. 为等差数列D. 和的前项中的公共项的和为10. 等差数列的前项和分别为,则下列说法正确的有()A. 数列是递增数列B. C. D. 11. 两个等差数列和,其公差分别为和,其前项和分别为和,则下列命题中正确的是()A. 若为等差数列,则B. 若为等差数列,则C. 若为等差数列,则D. 若,则也为等差数列,且公差为三、填空题12. 设数列的每一项均为正数,且,且有,则13. 已知,设数列
3、的前项和为,则14. 在单调递增数列中,已知,且,成等比数列,成等差数列,那么四、解答题15. 已知公比不为的等比数列,为数列的前项和,且构成等差数列求数列的通项公式;求使成立的最大正整数16. 已知正项数列的前项积为,且满足求证:数列为等比数列;若,求的最小值17. 已知数列中,求证:数列为等比数列设,记数列的前项和为,求使得的正整数的最小值答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查了数列递推关系、不等式的性质、等差数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题,可得,另外:,可得,可得根据,可得,通过转化,利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解:,另外:,可得,数列是等
4、差数列,首项为,公差为,故选:2.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的前项和公式,等差数列的通项公式,以及数列的前项和及与的关系,属于中档题设等差数列的公差为,由,且,联立方程,求出等差数列的通项公式,再计算即可【解答】解:设等差数列的公差为,由题意得解得,故选B3.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及求和公式,考查学生的运算求解能力,属于中档题【解答】解:由,则为公差为的等差数列,所以;由,则为公比为的等比数列,所以;,为首项为,公比为的等比数列,则的前项的和为:故选:4.【答案】【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,考查等差数列的求和公式,属
5、于中档题设的公比为,运用等比数列的求和公式,解方程可得,求得数列是以为首项,公差为的等差数列,由等差数列的求和公式,计算可得所求和【解答】解:设的公比为,由,知,则,即,即,解得,所以,所以,所以数列是以为首项,公差为的等差数列,于是数列的前项和为:,故选:5.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及求和公式,属于中档题由题意得,结合条件可求得的范围,从而可得结果【解答】解:由数列为等差数列,且,知,即所以,由解得,又因为,所以,的个数为故答案选:6.【答案】【解析】【分析】本题考查等比数列和等差数列的性质,以及等差数列的求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题由等比数列
6、的性质解方程可得,再由等差数列的求和公式和等差数列的中项性质,可得所求和【解答】解:由等比数列,可得,解得,则,则故选:7.【答案】【解析】【分析】本题考查数列递推式,等差数列的通项公式与前项和,考查转化思想和计算能力,是较难题由已知利用等差数列的通项公式判断与;由数列递推式分别求得,分析,成立时是否满足公差,判断与【解答】解:在等差数列中,A.,故A正确;B.,若,则,即不合题意,故B错误;C.若,则,即,得,符合,故C正确;D.若,则,即,则有两不等负根,满足,故D正确等式不可能成立的是故答案选:8.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列和等比数列的判断以及用错位相消法求和,属于中档题对
7、于,即可求出;对于、,利用,即即可判断;对于,利用错位相消法求和即可【解答】解:时,而,故A选项错误,即,又,所以数列是等比数列,故B选项正确;所以,所以所以数列是等差数列,故C选项正确;因为,所以,所以,所以,故D选项正确故选BCD9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的判定和通项公式,求和公式,数列的最值,属于中档题由等差数列的通项公式先求出,即可判断;利用等差数列的求和公式以及二次函数的性质求解出最小值,判断;因为,所以,当时,以及,得出是等差数列判断;和的前项中的公共项的和为,由求和公式判断【解答】解:设等差数列的公差为,由,可得:,解得:所以,则,故A正确;,故当时,的最
8、小值为,故B错误;因为,所以,因为,故当时,两式相减得:,当时,则,所以是以为首项,为公差的等差数列,故C正确;和的前项中的公共项的和为,故D错误故选AC10.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的性质以及前项和,以及数列的单调性,属中档题结合数列的单调性,等差数列前项和公式对选项进行分析,从而确定正确选项【解答】解:,所以是递增数列,选项正确;,所以,选项正确;,选项错误;当时,选项错误故选AB11.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的求和公式,考查等差数列的性质,属于中档题如果为等差数列,则其通项是的一次式,再由已知条件得出,即可判断若为等差数列,则其通项
9、是的一次式,由已知条件得出,即可判断构造,可判断C错误构造,即可判断D错误【解答】解:数列公差为,首项为,其前项和为,若为等差数列,则其通项为的一次式,即存在实数,使,故,对取所有正整数恒成立,故所有项系数均为,解得,故A成立两个等差数列和,其公差分别为和,其前项和分别为和,则,若为等差数列,则的通项为的一次式,故成立,B正确若,则不论等差数列公差为何值,是等差数列,故不一定成立,故C错误设,公差,公差,则也为等差数列,其公差为,并不等于,故D错误,故选AB12.【答案】【解析】【分析】本题考查求解数列的通项公式,等比数列的判定或证明,属于中档题【解答】解:由题意知,因为,所以,令,所以,故是
10、以首项为,公比为的等比数列即,故13.【答案】【解析】【分析】本题考查等比数列的定义和求和公式,注意定义法的运用,考查化简运算能力,属于中档题由题意化简变形,证明数列是首项为,公比为的等比数列,根据等比数列的定义和求和公式,可得所求【解答】解:由于,易知,则化简可得,由于,则,因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,则故答案为:14.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列、等比数列的综合应用,属于中档题【解答】解:因为数列单调递增,故,由已知条件得,化简可得,在等式左右两边同时除以,化简得,故数列为等差数列,所以数列的首项为,公差为,故,即,因为,可得故当为偶数时,当为奇数时,所以15
11、.【答案】解:设等比数列的公比为,且因为,构成等差数列,所以,解得,所以所以数列的通项公式为;因为,要使成立,即,即,当为偶数时,不等式不成立,所以为奇数,设,即,即,即,即,整数,的最大值为,此时,使成立的最大正整数【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式,以及等差数列的性质,属于中档题设等比数列的公比为,且,由条件得出方程组求得和,再求等比数列的通项公式即可利用等比数列求和公式求得,可得,从而求得满足条件的最大整数16.【答案】解:证明:当时,所以,即,所以,即,而,所以,所以,因此数列为等比数列且首项为,公比为;由可知,所以,所以,而,记的前项和为,因此,所以,所以,的最小值为【解析】本题考查等比数列的定义,等比数列的通项公式,前项和公式,考查转化思想,计算能力,属于中档题根据题意可知,可得,因此即可证明数列为等比数列;由可知,求得,即可求得,求得数列的前项和,求得其取值范围,因此可得的最小值17.【答案】解:由得,所以,因为,则是公比为的等比数列由得所以,所以所以,因为与互素,所以因为,所以正整数的最小值为【解析】本题考查了等比数列的判断,数列的综合应用问题,属于中档题