1、专题15等差数列与等比数列B卷一、单选题1. 已知数列和首项均为，且，数列的前项和为，且满足，则()A. B. C. D. 2. 设等差数列的前项和为，若，且，则的值为()A. B. C. D. 3. 已知数列，满足，则数列的前项和为()A. B. C. D. 4. 等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前项和为()A. B. C. D. 5. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数的个数为()A. B. C. D. 6. 已知等比数列满足，数列为等差数列，其前项和为，若，则()A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和，公差，记，下列等式不可能成立的是()A. B. C.
2、 D. 二、多选题8. 已知数列满足，是数列的前项和，则下列结论正确的有()A. B. 数列是等比数列C. 数列是等差数列D. 9. 已知为等差数列的前项和，且满足，若数列满足，则()A. B. 的最小值为C. 为等差数列D. 和的前项中的公共项的和为10. 等差数列的前项和分别为，则下列说法正确的有()A. 数列是递增数列B. C. D. 11. 两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是()A. 若为等差数列，则B. 若为等差数列，则C. 若为等差数列，则D. 若，则也为等差数列，且公差为三、填空题12. 设数列的每一项均为正数，且，且有，则13. 已知，设数列
3、的前项和为，则14. 在单调递增数列中，已知，且，成等比数列，成等差数列，那么四、解答题15. 已知公比不为的等比数列，为数列的前项和，且构成等差数列求数列的通项公式；求使成立的最大正整数16. 已知正项数列的前项积为，且满足求证：数列为等比数列；若，求的最小值17. 已知数列中，求证：数列为等比数列设，记数列的前项和为，求使得的正整数的最小值答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查了数列递推关系、不等式的性质、等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，可得，另外：，可得，可得根据，可得，通过转化，利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：，另外：，可得，数列是等
4、差数列，首项为，公差为，故选：2.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的前项和公式，等差数列的通项公式，以及数列的前项和及与的关系，属于中档题设等差数列的公差为，由，且，联立方程，求出等差数列的通项公式，再计算即可【解答】解：设等差数列的公差为，由题意得解得，故选B3.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，考查学生的运算求解能力，属于中档题【解答】解：由，则为公差为的等差数列，所以；由，则为公比为的等比数列，所以；，为首项为，公比为的等比数列，则的前项的和为：故选：4.【答案】【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查等差数列的求和公式，属
5、于中档题设的公比为，运用等比数列的求和公式，解方程可得，求得数列是以为首项，公差为的等差数列，由等差数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：设的公比为，由，知，则，即，即，解得，所以，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，于是数列的前项和为：，故选：5.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，属于中档题由题意得，结合条件可求得的范围，从而可得结果【解答】解：由数列为等差数列，且，知，即所以，由解得，又因为，所以，的个数为故答案选：6.【答案】【解析】【分析】本题考查等比数列和等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题由等比数列
6、的性质解方程可得，再由等差数列的求和公式和等差数列的中项性质，可得所求和【解答】解：由等比数列，可得，解得，则，则故选：7.【答案】【解析】【分析】本题考查数列递推式，等差数列的通项公式与前项和，考查转化思想和计算能力，是较难题由已知利用等差数列的通项公式判断与；由数列递推式分别求得，分析，成立时是否满足公差，判断与【解答】解：在等差数列中，A.，故A正确；B.，若，则，即不合题意，故B错误；C.若，则，即，得，符合，故C正确；D.若，则，即，则有两不等负根，满足，故D正确等式不可能成立的是故答案选：8.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列和等比数列的判断以及用错位相消法求和，属于中档题对
7、于，即可求出；对于、，利用，即即可判断；对于，利用错位相消法求和即可【解答】解：时，而，故A选项错误，即，又，所以数列是等比数列，故B选项正确；所以，所以所以数列是等差数列，故C选项正确；因为，所以，所以，所以，故D选项正确故选BCD9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的判定和通项公式，求和公式，数列的最值，属于中档题由等差数列的通项公式先求出，即可判断；利用等差数列的求和公式以及二次函数的性质求解出最小值，判断；因为，所以，当时，以及，得出是等差数列判断；和的前项中的公共项的和为，由求和公式判断【解答】解：设等差数列的公差为，由，可得：，解得：所以，则，故A正确；，故当时，的最
8、小值为，故B错误；因为，所以，因为，故当时，两式相减得：，当时，则，所以是以为首项，为公差的等差数列，故C正确；和的前项中的公共项的和为，故D错误故选AC10.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的性质以及前项和，以及数列的单调性，属中档题结合数列的单调性，等差数列前项和公式对选项进行分析，从而确定正确选项【解答】解：，所以是递增数列，选项正确；，所以，选项正确；，选项错误；当时，选项错误故选AB11.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的求和公式，考查等差数列的性质，属于中档题如果为等差数列，则其通项是的一次式，再由已知条件得出，即可判断若为等差数列，则其通项
9、是的一次式，由已知条件得出，即可判断构造，可判断C错误构造，即可判断D错误【解答】解：数列公差为，首项为，其前项和为，若为等差数列，则其通项为的一次式，即存在实数，使，故，对取所有正整数恒成立，故所有项系数均为，解得，故A成立两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则，若为等差数列，则的通项为的一次式，故成立，B正确若，则不论等差数列公差为何值，是等差数列，故不一定成立，故C错误设，公差，公差，则也为等差数列，其公差为，并不等于，故D错误，故选AB12.【答案】【解析】【分析】本题考查求解数列的通项公式，等比数列的判定或证明，属于中档题【解答】解：由题意知，因为，所以，令，所以，故是
10、以首项为，公比为的等比数列即，故13.【答案】【解析】【分析】本题考查等比数列的定义和求和公式，注意定义法的运用，考查化简运算能力，属于中档题由题意化简变形，证明数列是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的定义和求和公式，可得所求【解答】解：由于，易知，则化简可得，由于，则，因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，则故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，属于中档题【解答】解：因为数列单调递增，故，由已知条件得，化简可得，在等式左右两边同时除以，化简得，故数列为等差数列，所以数列的首项为，公差为，故，即，因为，可得故当为偶数时，当为奇数时，所以15
11、.【答案】解：设等比数列的公比为，且因为，构成等差数列，所以，解得，所以所以数列的通项公式为；因为，要使成立，即，即，当为偶数时，不等式不成立，所以为奇数，设，即，即，即，即，整数，的最大值为，此时，使成立的最大正整数【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，以及等差数列的性质，属于中档题设等比数列的公比为，且，由条件得出方程组求得和，再求等比数列的通项公式即可利用等比数列求和公式求得，可得，从而求得满足条件的最大整数16.【答案】解：证明：当时，所以，即，所以，即，而，所以，所以，因此数列为等比数列且首项为，公比为；由可知，所以，所以，而，记的前项和为，因此，所以，所以，的最小值为【解析】本题考查等比数列的定义，等比数列的通项公式，前项和公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题根据题意可知，可得，因此即可证明数列为等比数列；由可知，求得，即可求得，求得数列的前项和，求得其取值范围，因此可得的最小值17.【答案】解：由得，所以，因为，则是公比为的等比数列由得所以，所以所以，因为与互素，所以因为，所以正整数的最小值为【解析】本题考查了等比数列的判断，数列的综合应用问题，属于中档题