1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十九)一、选择题1.(2013福州模拟)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角的大小是()(A)(B)(C)(D)2.(2013银川模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为边长为1的正三角形,侧棱AA1底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD与平面AA1C1C所成的角为,则sin的值为()(A)(B)(C)(D)3.(2013合肥模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中
2、,二面角A1-BD-C1的余弦值为()(A)(B)(C)(D)4.已知直二面角-l -,点A,ACl,C为垂足,B,BDl,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于()(A)(B)(C)(D)15.(2013三亚模拟)如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,ACB=90,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为()(A)(B)-(C)(D)-6.如图,平面ABCD平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为()(A)(B)(
3、C)(D)二、填空题7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离为.8.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为.9.正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角等于.三、解答题10.(2013厦门模拟)如图,在四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,底面ABCD是矩形,SD=AD=AB,E是SA的中点.(1)求证:平面BED平面SAB.(2)求直
4、线SA与平面BED所成角的大小.11.(能力挑战题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,又AA1平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.(1)求证:AE平面A1BD.(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.(3)求点B1到平面A1BD的距离.12.(能力挑战题)已知正方形ABCD的边长为2,ACBD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.(1)当a=2时,求证:AO平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120时,求二面角A-BC-D的正切值.答案解析1.【解析】选B.由题意知=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),故cos
5、=-,所以=.2.【解析】选D.如图,建立空间直角坐标系,易求点D(,1),平面AA1C1C的一个法向量是n=(1,0,0),所以cos=,即sin=.3.【解析】选D.设正方体棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,易知A1EBD,C1EBD,则A1EC1是二面角A1-BD-C1的平面角,=(,-,1),=(-,1),cos=.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法.其步骤是:建系;分别求构成二面角的两个半平面的法向量;求法向量夹角的余弦值;根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法.该法就是首先利用二面角的定义,找出二面角的平面角,然后用向量法或解三角形法求其余弦值.4.
6、【解析】选C.=+,|2=|2+|2+|2,|2=2.在RtBDC中,BC=.平面ABC平面BCD,过D作DHBC于H,则DH平面ABC,DH的长即为D到平面ABC的距离,DH=,故选C.5.【解析】选A.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,ACB=90,F,G分别是线段AE,BC的中点.以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),=(0,-2,2),=(-1,2,1),|=2,|=,=-2,cos=-.直线AD与GF所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线
7、所成角的范围而误选B.【变式备选】在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.结合图形建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算可知AMOP恒成立,即AM与OP所成的角为.6.【解析】选C.如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),=(0,0,2a).设平面AGC的一个法向量为n1=(x1,y1,1),由n1=(1
8、,-1,1).设为GB与平面AGC所成的角,则sin=.7.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),O(,1),=(0,1,0),=(-1,0,1),设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z),由得令x=1,得n=(1,0,1).又=(-,-,0),O到平面ABC1D1的距离d=.答案:8.【解析】由条件,知=0,=0,=+,|2=|2+|2+|2+2+2+2=62+42+82+268cos=(2)2,cos=-,=120,二面角的大小为60.答案:609.【
9、解析】如图,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-,),则=(2a,0,0),=(-a,-,),=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos= =,=60,直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30.答案:3010.【解析】(1)SD平面ABCD,SD平面SAD,平面SAD平面ABCD;又ABAD,AB平面SAD,DEAB,SD=AD,E是SA的中点,DESA.ABSA=A,DE平面SAB.又DE平面BED,平面BED平面SAB.(2)以D为原点,以DA,
10、DC,DS分别为坐标轴建立空间直角坐标系Dzyz,不妨设AD=2,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,0),C(0,0),S(0,0,2),E(1,0,1).=(2,0),=(1,0,1),设m=(x1,y1,z1)是平面BED的一个法向量,则 即因此可取m=(-1,1).又=(2,0,-2),设直线SA与平面BED所成的角为,则sin=,即直线SA与平面BED所成的角为.【变式备选】(2013石家庄模拟)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都是2,底面正方形两条对角线相交于O点,M是侧棱PC的中点.(1)求此正四棱锥的体积.(2)求直线BM与侧面PAB所成角的正弦值.【解析】(
11、1)由题可得,PO底面ABCD.在RtAOP中,AO=AC=,AP=2,PO=.故VP-ABCD=S底PO=4=.(2)由(1)知PO底面ABCD,且OAOB,以O点为原点,OA,OB,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为A(,0,0),B(0,0),P(0,0,),M(-,0,),=(,-),=(-,0),=(-,0,).设平面ABP的一个法向量为n=(x,y,z),则有即取x=1,则y=1,z=1,n=(1,1,1),sin=cos(90-)=.11.【思路点拨】由AA1平面ABC可知,平面ABC平面ACC1A1,故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.
12、【解析】(1)以D为原点,DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A1(1,-2,0),C1(-1,-2,0),B(0,0,),B1(0,-2,),=(-2,-1,0),=(-1,2,0),=(0,0,-).=2-2+0=0,AEA1D,=0,AEBD.又A1D与BD相交于D,AE平面A1BD.(2)设平面DA1B的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由取n1=(2,1,0).设平面AA1B的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),易得=(-1,2,),=(0,2,0),则由取n2=
13、(3,0,).cos=.故二面角D-BA1-A的余弦值为.(3)=(0,2,0),平面A1BD的法向量取n1=(2,1,0),则点B1到平面A1BD的距离为d=|=.12.【解析】(1)根据题意,在AOC中,AC=a=2,AO=CO=,所以AC2=AO2+CO2,所以AOCO.又AOBD,BDCO=O,所以AO平面BCD.(2)方法一:由(1)知,COOD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz,则有O(0,0,0),D(0,0),C(,0,0),B(0,-,0).设A(x0,0,z0)(x00),则=(x0,0,z0),=(0,0).平面ABD的一个
14、法向量为n=(z0,0,-x0).平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120,所以|cos|=|cos120|=,得=3.因为OA=,所以=.解得x0=-,z0=.所以A(-,0,).平面ABC的一个法向量为l=(1,-1,).设二面角A-BC-D的平面角为,所以cos=|cos|=|=.所以tan=.所以二面角A-BC-D的正切值为.方法二:折叠后,BDAO,BDCO.所以AOC是二面角A-BD-C的平面角,即AOC=120.在AOC中,AO=CO=,所以AC=.如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,因为BDCO,BDAO,且COAO=O,所以BD平面AOC.因为AH平面AOC,所以BDAH.又COAH,且COBD=O,所以AH平面BCD.所以AHBC.过点A作AKBC,垂足为K,连接HK,因为BCAH,AKAH=A,所以BC平面AHK.因为HK平面AHK,所以BCHK.所以AKH为二面角A-BC-D的平面角.在AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.在RtCHK中,HK=,在RtAHK中,tanAKH=.所以二面角A-BC-D的正切值为.关闭Word文档返回原板块。- 11 - 版权所有高考资源网
