1、专题06 全等三角形的判定重点突破知识点一 全等三角形的判定（重点）一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等备注：1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。2.全等三角形周长、面积相等。知识点二 证题的思路（难点）考查题型一 利用SAS判断两个三角形全等典例1（2020惠州市期末）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DFBE. 求证：AF=CE.【答案】证明见解析【分析】由SAS证明ADFCBE
2、，即可得出AFCE【详解】证明：四边形ABCD是矩形，DB90，ADBC，在ADF和CBE中，ADFCBE（SAS），AFCE变式1-1（2018丹江口市期末）如图，点E,F在AB上，.求证：.【答案】详见解析【分析】先将转化为AFBE，再利用证明两个三角形全等.【详解】证明：因为AEBF，所以，AEEFBFEF，即AFBE，在ADF和BCE中，所以，变式1-2（2019武汉市期中）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CDBE.求证:ACDCBE.【答案】证明见解析.【解析】证明：CDBE，ACD=B.点C为AB中点，AC=CB.又CD=BE，ACDCBE（SAS）变式1-3（2019兰州
3、市期末）如图，ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：ABEACF；（2）若BAE=30，则ADC= 【答案】（1）证明见解析；（2）75【分析】（1）根据等边对等角可得B=ACF，然后利用SAS证明ABEACF即可；（2）根据ABEACF，可得CAF=BAE=30，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得ADC的度数.【详解】（1）AB=AC，B=ACF，在ABE和ACF中，ABEACF（SAS）；（2）ABEACF，BAE=30，CAF=BAE=30，AD=AC，ADC=ACD，ADC=75，故答案为75考查题型二 利用AS
4、A判断两个三角形全等典例2（2019玉林市期中）如图，AB，AEBE，点D在 AC 边上，12，AE和BD 相交于点O求证：AECBED；【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定即可判断AECBED；【详解】AE和BD相交于点O，AOD=BOE在AOD和BOE中，A=B，BEO=2又1=2，1=BEO，AEC=BED在AEC和BED中， AECBED（ASA）变式2-1（2018楚雄州期末）如图，完成下列推理过程：如图所示，点E在ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若13，EC，AEAC，求证：ABCADE.证明：EC（已知），AFEDFC（ ）,2=3（ ）,又13（ ）,1=2（
5、等量代换），_+DAC=_+DAC（ ）,即BAC=DAE,在ABC和ADE中ABCADE（ ）.【答案】对顶角相等；三角形内角和定理；已知；1；2；等式的性质；ASA【详解】解：E=C（已知），AFE=DFC（对顶角相等），2=3（三角形内角和定理）又1=3（已知），1=2（等量代换），1+DAC=2+DAC（等式的性质），即BAC=DAE在ABC和ADE中，ABCADE（ASA）变式2-2（2019德州市期末）如图，ABAC，ABAC，ADAE，且ABDACE.求证：BDCE.【答案】见解析.【分析】先求出CAEBAD再利用ASA证明ABDACE，即可解答【详解】ABAC，ADAE，BAE
6、+CAE90，BAE+BAD90，CAEBAD.又ABAC，ABDACE，ABDACE(ASA).BDCE.考查题型三 利用AAS判断两个三角形全等典例3（2019黄石市期中）如图，在ABCD中，经过A，C两点分别作AEBD，CFBD，E，F为垂足（1）求证：AEDCFB；（2）求证：四边形AFCE是平行四边形【答案】（1）见解析;（2）见解析.【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ADBC，CBFADE，再根据垂线的性质可得CFBAED90，再根据全等三角形的判定（角角边）来证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得AECF，再由AEBD，CFBD可得AECF，根据一组对边平行且相等的四边形为
7、平行四边形即可证明.【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，CBFADE，AEBD，CFBD，CFBAED90，AEDCFB（AAS）（2）证明：AEDCFB，AECF，AEBD，CFBD，AECF，四边形AFCE是平行四边形变式3-1（2019兴义市期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，BCE=ACD=90，BAC=D，BC=CE（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求DEC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）112.5【分析】根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上 可证得结论；根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到【详解】证
8、明： 在ABC和DEC中， （2）ACD90，ACCD，1D45，AEAC，3567.5，DEC1805112.5变式3-2（2019温州市期中）如图，已知，在同一直线上，.试说明：.【答案】见解析；【分析】由ABCD可得BAC=DCA，由AF=CE可得AE=CF，由AAS可得ABECDF【详解】证明，即.在和中，（AAS）考查题型四 利用SSS判断两个三角形全等典例4（2019德州市期中）已知：如图，ABAC，BDCD，DEAB，垂足为E，DFAC，垂足为F求证：DEDF【答案】见解析【分析】连接AD，利用“边边边”证明ABD和ACD全等，再根据全等三角形对应边上的高相等证明【详解】证明：如
9、图，连接AD，在ABD和ACD中，ABDACD（SSS），DEAB，DFAC，DEDF（全等三角形对应边上的高相等）变式4-1（2019阳泉市期末）如图，在ABC中，ABAC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：12.【答案】证明见详解【分析】由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可证得ABDACD,得到BAE=CAE,再证明ABEACE,即可得到结论.【详解】证明:AB=AC,AD=AD,BD=CD,在ABD和ACD中,ABDACD, BAE=CAE,在ABE和ACE中, ABEACE1=2.变式4-2（2019鄂州市期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC
10、=EF.(1)求证：ABCDEF；(2)若A=55，B=88，求F的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）37【解析】（1）AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CFAC=DF在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS）（2）由（1）可知，F=ACBA=55，B=88ACB=180（A+B）=180（55+88）=37F=ACB=37变式4-3（2020石家庄市期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC（1）求证：ABCDEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）ABC=D
11、EF，ACB=DFE,理由见解析.【解析】（1）证明：BF=EC，BF+CF=CF+CE，BC=EF AB=DE，AC=DF ABCDEF（SSS）（2）ABDE,ACDF,理由如下，ABCDEF，ABC=DEF，ACB=DFE,ABDE,ACDF.考查题型五 利用HL判断两个直角三角形全等典例5（2019云龙县期中）已知：如图，AC=BD，ADAC，BCBD求证：AD=BC【答案】见解析【分析】连接CD，利用HL定理得出RtADCRtBCD进而得出答案【详解】证明：如图，连接CD，ADAC，BCBD，A=B=90，在RtADC和RtBCD中，RtADCRtBCD（HL），AD=BC变式5-1
12、（2019开封市期中）已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：（1）；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据垂直的定义得到DEC=BFA=90，推出RtDCERtBFA（HL），由全等三角形的性质即可得到结论.（2）根据全等三角形的性质得到C=A，根据平行线的判定即可得到ABCD.【详解】证明： DE AC， BF AC DEC=BFA=90在Rt DEC和Rt BFA中AB=CDDE=BF Rt DCERt BFA（HL） AF=CE C=A AB CD变式5-2（2018开封市期末）如图，、四点在一条直线上，垂足分别为点、点，求证：（1）
13、；（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用HL证得结论；（2）由（1）中结论可得到DB，则可证得结论【详解】证明：（1），和为直角三角形，即，在和中，；（2）由（1）可知，考查题型六 三角形全等判定的综合典例6（2019保定市期末）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC全等的是（）A甲和乙B乙和丙C甲和丙D只有丙【答案】B【解析】乙和ABC全等；理由如下：在ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和ABC全等；在ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和ABC全等
14、；不能判定甲与ABC全等；故选B变式6-1（2019武汉市期中）如图，在ABC和DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEC，不能添加的一组条件是（ ）ABC=EC，B=EBBC=EC，AC=DCCBC=DC，A=DDB=E，A=D【答案】C【解析】试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定：A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，B=E可利用SAS证明ABCDEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明ABCDEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，A=D不能证明ABCDEC，故此选项符合题意；D、已知
15、AB=DE，加上条件B=E，A=D可利用ASA证明ABCDEC，故此选项不合题意故选C变式6-2（2020杭州市期末）如图所示，在下列条件中，不能判断ABDBAC的条件是（）ADC，BADABCBBADABC，ABDBACCBDAC，BADABCDADBC，BDAC【答案】C【解析】解：A、符合AAS，能判断ABDBAC；B、符合ASA，能判断ABDBAC；C、符合SSA，不能判断ABDBAC；D、符合SSS，能判断ABDBAC所以根据全等三角形的判定方C、满足SSA不能判断两个三角形全等故选C变式6-3（2018虹桥区期中）如图，在下列条件中，不能证明ABDACD的是（ ）.ABD=DC，AB=ACBADB=ADC，BD=DCCB=C，BAD=CADDB=C，BD=DC【答案】D【分析】两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形解答：【详解】分析：AD=AD，A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明ABDACD，正确；B、当ADB=ADC，BD=DC时，利用SAS证明ABDACD，正确；C、当B=C，BAD=CAD时，利用AAS证明ABDACD，正确；D、当B=C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明ABDACD，错误故选D
