1、河南省新乡市2020届高三数学三模考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】复数实数化，即可求解.【详解】因为，所以.故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题.2. 设集合，则AB（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用交集概念及运算求出结果.【详解】，故选：D.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题3. 函数的定义域是（ ）A. （0，1
2、）（1，4B. （0，4C. （0，1）D. （0，1）4，+）【答案】A【解析】【分析】根据偶次根式下被开方数非负、分母不为零、对数真数大于零列式求解，即得结果.【详解】故选：A【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.4. 若抛物线x2ay的准线与抛物线yx22x+1相切，则a（ ）A. 8B. 8C. 4D. 4【答案】B【解析】【分析】求出抛物线x2ay的准线为，根据抛物线x2ay的准线与抛物线相切可得，得出答案.【详解】抛物线抛物线x2ay的准线为则与抛物线yx22x+1相切，所以，所以故选：B【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查抛物线的切线，属于基础题.5. 函
3、数 的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数的单调性，结合函数的特值可得结果.【详解】由，则当 时，则，所以函数在上单调递增，排除选项A，C又 ，排除除选项B故选：【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性以及特值是解决本题的关键比较基础6. 已知alog3b，b0.3c，则“a0”是“c0”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数性质说明充分性与必要性都不成立.【详解】若，则，即充分性不成立；若，则，即必要性不成立；故选：D【点睛】本题考查充
4、要关系判断、指数函数与对数函数单调性应用，考查基本分析判断能力，属基础题.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ） A. 5B. 3C. 6D. 4【答案】A【解析】【分析】执行程序框图，依此写出每次循环时的的值并判断，直到当时，退出循环，输出的值.【详解】第一次循环：，不满足执行循环；第二次循环：，不满足执行循环；第三次循环：，不满足执行循环；第四次循环：，退出循环，此时输出.故选: A【点睛】本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出，对于这类问题，通常是利用程序框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可，属于基础题.8. 定义在上的函数的导函数为，对任意的实数，都有，且，则（ ）A.
5、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，求导后可判断的单调性，然后利用函数的单调性求解即可.【详解】构造，则，又，所以，所以函数在上单调递减，又，所以，即，所以.故选：B【点睛】本题主要考查导数中函数构造问题，根据构造函数是解题的关键，属于中档题.9. 中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系是中华民族的瑰宝某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含最x（单位：克）与药物功效y（单位：药物单位）之间满足y15x2x2检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的
6、平均值为5克标准差为克则估计这批中医药的药物功效的平均值为（ ）A. 14药物单位B. 15.5药物单位C. 15药物单位D. 16药物单位【答案】C【解析】【分析】设6个样本中药物成份甲的含量分别为，根据平均值和标准差列出方程，再代入平均数的计算公式，即可求解.【详解】设6个样本中药物成份甲含量分别为，因为成分甲的含量的平均值为5克，所以，标准差为克，所以，可得，又由，所以，所以这批中医药的药物功效的平均值为.故选：C.【点睛】本题主要考查了统计知识的应用，其中解答中熟记平均数和方差、标准差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10. 已知Sn为数列an的前n项和，2，a
7、n，6Sn成等差数列，若ta1a2+a2a3+anan+1，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由等差中项，可得，的关系，化简可得等比数列的通项，利用仍为等比数列，即可求出的值.【详解】因为，an，6Sn成等差数列，所以 当时，解得，当时， 由得，可得，所以数列an是以为首项，为公比的等比数列，故，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，因为,所以，所以故选：C【点睛】本题主要考查了等差中项，等比数列的定义，通项公式，等比数列的求和公式，属于中档题.11. 三棱锥SABC的各顶点均在球O的球面上，SC为该球的直径，ACBC2，ACB120，且三棱锥SABC的体积为2，则球O
8、的半径为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】作出示意图，求得的面积，并计算出三棱锥的高，利用正弦定理计算圆的直径，然后利用勾股定理求出，即可求解球的直径，得到答案.【详解】如图所示， 因为，可得的面积为，设外接圆为圆，连接，则平面，作圆的直径，连接，因为分别为的中点，则，所以平面，所以三棱锥的体积为，解得，由正弦定理，可得，设球的半径为，则，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.12. 设A为双曲线（a0，b0）的一条渐
9、近线上一点，且A在第四象限，O为坐标原点，若向量(1，1)，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】由已知可设，其中，由且，可得，建立关于的方程，解之，再由双曲线离心率的公式可得选项.【详解】由已知可得A为直线上一点，且A在第四象限，故可设，其中，其中，即，所以该双曲线的离心率为，故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率的问题，关键在于由已知条件得出关于的方程，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13. 已知向量若与平行，则m_【答案】4【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示直接列式求解.【详解】由
10、题意可知若和平行，则，解得： 故答案为：4【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题型.14. 已知函数f（x）2sin（x+）（0，|），其图象的一条对称轴是直线x，且与之相邻的一个对称中心是（，0），则f（x）_.【答案】【解析】【分析】借助于正弦函数相邻的对称轴和对称中心的距离为四分之一个周期,求出的值,再由五点作图法的对称轴处取得最大值或者最小值,代入横坐标求出值,可得.【详解】函数图象的一条对称轴是直线,且与之相邻的一个对称中心是（，0），所以,又,则,解得,又,解得,即,故答案为: .【点睛】本题考查三角函数的图象和性质,利用五点作图法来解题是关键,考查学生的运算能力和转化能力
11、,属于基础题.15. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若9，则_.【答案】5【解析】【分析】根据等差数列的求和公式化简可得，代入即可求出答案.【详解】等差数列an中，所以，即，所以，故答案为：5【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，通项公式，考查了运算能力，属于中档题.16. 在直四棱柱中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且，点在边上，且满足，动点在该四棱柱的表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹围成的图形的面积为_；当与平面所成角最大时，异面直线与所成角的余弦值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】首先可证，在上取，使得，连接，则，可得记与的交点为，以为坐标原点，建立如图所
12、示的空间直角坐标系，在上取一点，由，求出点的位置，从而得到动点轨迹，即可求出动点的轨迹围成的图形的面积，显然当与重合时，与平面所成角最大，利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值；【详解】解：如图，在直四棱柱中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面，所以平面，所以在上取，使得，连接，则，所以记与的交点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，在上取一点，记为，于是，由，得，即，所以的边为点的运动轨迹由题意得，动点的轨迹围成的图形的面积为显然当与重合时，与平面所成角最大因为，所以，因为直线的一个方向向量为，所以，即异面直线与所成角的余弦值为故答案为：；.【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系
13、，利用空间向量法解决立体几何问题，考查直观想象与数学运算的核心素养，属于难题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或清算步重.17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 在中，角，的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1) ；(2) 或.【解析】【分析】(1)利用正弦定理可将已知等式化为，再利用两角和的正弦公式可得，再确定的范围即可得出结果；(2)利用余弦定理可得，由此求出，然后利用面积算公式即可求出结果.【详解】(1)因为，所以，因为是的内角，所以，所以，所以，所以，即
14、，因为，所以，所以，所以.(2)中，由余弦定理得 ，即，所以，解得或，当时，的面积；当时，的面积，所以，的面积为或.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，同时考查两角和的正弦公式的逆用，属于基础题.18. 如图，四边形ABCD为矩形，BCF为等腰三角形，且BAEDAE90，EA/FC.（1）证明：BF/平面ADE.（2）设，问是否存在正实数，使得三棱锥ABDF的高恰好等于BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在正实数.【解析】【分析】（1）通过证明平面平面来证明BF/平面ADE；（2）设，则，利用等体积法，则，可得关于的方程，求解
15、可得.【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面故平面；（2），又，平面，设，则， 在矩形和中，有，所以在中，边上的高，又，所以，由等体积法得，即，所以存在正实数，使得三棱锥的高恰好等于.【点睛】本题主要考查了直线与平面的平行，棱锥体积的计算，采用了等体积法求解参数，考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.19. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：乘坐站数0x33x66x9票价（元）234现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每
16、个站下地铁的可能性是相同的.（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率.【答案】（1）18，（2）【解析】【分析】（1）先根据共付费5元得一人付费2元一人付费3元，再确定人与乘坐站数，即可得结果；（2）先根据共付费6元得一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元，再分别求出小华、小李下地铁的方案数以及小华比小李先下地铁的方案数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三
17、种选择，所以小华、小李下地铁的方案共有种；（2）小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元，付费4元的乘坐站数也有7，8，9三种选择，因此小华、小李下地铁的方案共有种；其中小华比小李先下地铁的方案共有种；因此小华比小李先下地铁的概率为【点睛】本题考查实际问题中计数问题、古典概型概率，考查基本分析求解能力，属中档题.20. 已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1F1F2时，|PF2|2|PF1|（1）求椭圆C的标准方程：（2）过点Q（4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M，证明：直线NM过定点【答案】（1）；（2
18、）直线过定点.【解析】【分析】（1）由椭圆的定义和已知条件得，又由可得出点P的坐标，代入椭圆的标准方程中可解出，从而得出椭圆的标准方程；（2）设出直线l的方程，点M、N的坐标，直线l的方程与椭圆的方程联立可得点M、N的坐标的关系，再表示出直线的方程，将点M、N的坐标的关系代入可得直线NM所过的定点.【详解】（1）由得，由椭圆的定义得，所以点P的坐标为，将点P的坐标代入椭圆的方程中有，又，解得或，当，故舍去；当，所以椭圆的标准方程为：.（2）由题意可知，直线l的斜率必然存在,故设直线l的方程为，设，则，联立方程组，得， ，解得，又，设直线的方程为，当时，所以直线过定点.【点睛】本题考查椭圆的定义
19、和简单的几何性质，求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系中直线过定点的问题，关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去，属于较难题.21. 已知函数的最小值为2.（1）求a的值以及f（x）的单调区间；（2）设，nN*，证明：.【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求导数，再求导函数零点，确定函数单调性，根据单调性确定最小值取法，根据最小值为2求出a的值，并可确定单调区间；（2）先根据（1）得，再放缩得，最后根据裂项相消法证得不等式.【详解】（1），当时，单调递增；当时，单调递减；因此当时，取最小值，即；因此单调增区间为，单调减区间为；
20、（2）由（1）得【点睛】本题考查利用导数求函数最值、单调区间以及证不等式、裂项相消法求和，放缩法证不等式，考查综合分析论证与求解能力，属难题.（二）选考题：共10分.请考生从第2.2两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在直角坐标系xOy中，P（0，1），曲线C1的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）曲线C1与C2交于M，N两点，求|PM|PN|【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）把曲线C1的参数方程消去参数t可得普通
21、方程，曲线C2的极坐标方程为两边同乘以，把互化公式代入可得直角坐标方程；（2）把曲线C化成标准参数方程，代入曲线C2的直角坐标方程，得到关于t的二次方程，然后利用t的几何意义求解|PM|PN|【详解】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数t得普通方程，曲线C2的极坐标方程为，两边同乘以，得，所以其直角坐标方程为（2）曲线C1过点P（0，1），则其参数方程为，将其代入方程得，化简得，设上式方程的根为，所以，所以【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，考查了计算能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 已知a0，b0，a+b3（1）求的最小值；（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由所给等式得，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用即可逐步证明.【详解】（1），且，当且仅当即时等号成立，的最小值为.（2）因为a0，b0，所以要证，需证，因为，所以，当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.
