1、高 考 总 复 习 优 化 设 计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第3课时 利用导数研究函数的零点高考解答题专项一2023考向1.判断、证明或讨论函数零点的个数例1.(2021辽宁锦州一模)已知函数f(x)=ex-ax+sin x-1.(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)当1a1,所以h(x)=ex-sin x1-sin x0,所以f(x)在(0,+)上是递增的,所以f(x)f(0)=0,所以f(x)在(0,+)上是递增的,综上可得,f(x)在(-,0上是递减的;在(0,+)上是递增的.(2)由函数f(x)=ex-ax+sin x-1(xR),当
2、x=0时,f(0)=0,所以0是f(x)的一个零点,由f(x)=ex-a+cos x,设g(x)=f(x)=ex-a+cos x,可得g(x)=ex-sin x,因为1a1-sin x0,f(x)在(0,+)上是递增的,则f(x)f(0)=2-a0,f(x)在(0,+)上是递增的,f(x)f(0)=0,所以f(x)在(0,+)上无零点.当x(-,-时,-ax,则f(x)ex+sin x-10,所以f(x)在(-,-上无零点.当x(-,0)时,sin x0,f(x)在(-,0)内是递增的,又因为f(0)=2-a0,f(-)=e-a-10,所以存在唯一实数x0(-,0),使得f(x0)=0,当x(
3、-,x0)时,f(x)0,f(x)在(x0,0)内是递增的,又因为f(-)=e-+a-10,f(x0)f(0)=0,所以f(x)在(-,x0)内有唯一零点,所以f(x)在(-,0)内有一个零点,综上,当1a0,f(x)在(0,x0)内是递增的,当x(x0,)时,f(x)0,f(x)在(x0,)内是递减的,所以f(x)=0在,6)上有唯一的根,且记为x1,6),使f(x1)=0.综合可知f(x)在x0,x1)上是递减的,在(x1,6)内是递增的,则f(x1)f(6)=ln 6-6+sin 6+aln 6-6+1+3ln 6-20.因为f(x0)f(x1)0,所以f(x)在x0,6)上恰有1个零点
4、.当x6,+)时,f(x)ln x-x+4,设(x)=ln x-x+4,(x)=-10,所以(x)在6,+)上是递减的,则(x)(6)=ln 6-6+4=ln 6-20,所以当x6,+)时,f(x)(x)(6)0恒成立,所以f(x)在6,+)上没有零点,综上,当a1,3时,f(x)有且仅有2个不同的零点.考向2.已知函数零点情况求参数的值(或范围)例2.已知函数f(x)=xex-a(x+1)2(e是自然对数的底数).(1)若a=e,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.(2)(方法1)分类讨论法f(x)=(x+1)ex-a(x+1)=(x+1)(ex-a),
5、若a=0,易知函数f(x)在(-,+)上只有一个零点,故不符合题意,若a0,当x(-,-1)时,f(x)0,f(x)是递增的,由f(-1)=-0,当x-时,f(x)+,所以函数f(x)在(-,+)上有两个零点,当a0时,令f(x)=0,解得x=-1或x=lna,若ln a-1,即0a0,f(x)是递增的,(方法2)数形结合法当x=-1时,方程为-e-1=0,显然不成立,所以x=-1不是方程的解,即-1不是函数f(x)的零点,当x-1时,g(x)-1时,g(x)0,函数g(x)是递增的,当x=0时,g(x)=0;当x-时,g(x)0,当x-1时,g(x)-;当x+时,g(x)+,故函数g(x)的
6、图像如图所示,作出直线y=a,由图可知,当a0,a(3sin x+xcos x)0,所以(x)0,所以(x)即g(x)是递增的.又因为f(0)=0,f(x0)0,因此f(x)在(x0,)上存在唯一的零点x1.当x(0,x1)时,f(x)0,f(x)是递增的.又f(0)=0,f(x1)0,所以f(x)在(x1,)上存在唯一零点,因此f(x)在0,上有两个零点.考向3.可转化为函数零点的函数问题例3.(2021陕西西安三模)已知函数f(x)=2ex-x2-2(x-1)(其中e为自然对数的底数).(1)求f(x)的单调区间;(2)若g(x)=f(x)+(a-2)ex有两个极值点,求实数a的取值范围.
7、解:(1)f(x)=2ex-x2-2(x-1),定义域为R,f(x)=2(ex-x-1),令(x)=f(x),(x)=2(ex-1),令(x)0,解得x0,令(x)0,解得x0,所以(x)在(-,0)上是递减的,在(0,+)上是递增的,所以f(x)=(x)(0)=0,所以f(x)的递增区间为R,无递减区间.(2)若g(x)=f(x)+(a-2)ex=aex-x2-2(x-1)在R上有两个极值点,即g(x)=aex-2x-2有两个变号零点.令h(x)=g(x)=aex-2x-2,当a0时,h(x)=aex-2x-2在R上是递减的,最多只有一个零点,不合题意;当a2时,h(x)=aex-2x-22
8、(ex-x-1),由(1)exx+1,知h(x)=aex-2x-22(ex-x-1)0,最多只有一个零点,不合题意;突破技巧若f(x)为可导函数f(x)的导函数,x0为f(x)的极值点,则必有f(x0)=0.曲线的切线条数、两曲线的交点个数、极值点问题、方程根的个数等解决的关键是转化为对应函数的零点个数问题,通过数形结合等方式,研究函数的零点知识,确定相应的数量关系.对点训练3(2021贵州贵阳模拟)已知曲线f(x)=xex-ax3-ax2,aR.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数y=f(x)有三个极值点x1,x2,x3(x1x2x3),求实数a的取值范围,并证明:0f(x2)0,g(x)在R上为增函数,不合题意,当a0时,g(x)的两个零点必为正数.令g(x)=0,即ex-2a=0,解得x=ln 2a,可知在x(-,ln 2a),g(x)0,g(x)是递增的.根据题意,要使得函数g(x)=ex-2ax有两个不同的零点x2,x3,则g(x)min=g(ln 2a)0,f(x)是递增的,在x(x2,x3),f(x)0,f(x)是递增的,
