1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网第第第第 15151515 讲讲讲讲：空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法：空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法：空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法：空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法【考纲要求】1、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。2、了解向量方法在研究几何问题中的应用.【基础知识】一、四种距离的定义及常见求法常见求法几何法：先证线段为异面直线ba,的公垂线段，然后求出的长即可向量法：如下图所示，a、b 是两异面直线，n是 a 和 b 的法向量，点 Ea
2、，Fb，则异面直线 a 与 b 之间的距离是nnEFd=；平行平面,之间的距离|AB ndn=，其中,ABn 是平面 的法向量二、上面四种距离都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离.。高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网ABCDOSxyz图 2三、上面四种距离是可以相互转化的，最终都可以转化成点点距来求解。四、在上面四种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法。【方法讲评】异面直线间的距离方法一几何法使用情景异面直线的公垂线段存在或比较容易作出。解题步骤证线段为异面直线ba,的公垂线段 求出的长即可方法二向量法使用情景异面直线的公垂线段不存在或不
3、容易作出，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。解题步骤建立空间直角坐标系 求 a 和 b 的法向量 n(a、b 是两异面直线)求向量EF(点 Ea，Fb，)代入异面直线 a 与 b 之间的距离公式nnEFd=例 1111如图 2222，正四棱锥 SABCD的高2SO=，底边长2AB=。求异面直线 BD 和 SC 之间的距离？分析：建立如图所示的直角坐标系，则22(,0)22A，22(,0)22B，22(,0)22C，22(,0)22D，(0,0,2)S。(2,2,0)DB=，22(,2)22CS=。令向量(,1)nx y=，且,nDB nCS，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高
4、考资源网则00n DBn CS=，(,1)(2,2,0)022(,1)(,2)022x yx y=，02 20 xyxy+=+=，22xy=，(2,2,1)n=。例 2222如图，已知正方体1A1B1C1D 棱长为 a，求异面直线与1B 的距离解法一：连结交的中点，取1CC 的中点，连结交CB1于，连1AC，则1/ACOM，过作交于，则1/ACEF。又斜线1AC 的射影为，BDFEACBD,1。同理CBEFCBAC111,，EF为与CB1的公垂线，由于为1CC 的中点，MEC1BEB，211=BEMEBBMC。,25=BMaMBBE3532=，32=BMBEBOBF，故32=BFa32，aBF
5、BEEF3322=1A1C1D高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网解法三（转化为面面距）易证平面CDB11平面BDA1，用等体积法易得到平面距离为OCORt1斜边上的高aaaaCOOOOCh33232211=。解法五。（函数最小值法）如图，在上取一点 MMMM，作 MEMEMEME BCBCBCBC 于 EEEE，过 EEEE 作 ENENENEN BDBDBDBD 交 BDBDBDBD 于NNNN，易知 MNMNMNMN 为 BDBDBDBD 与CB1的公垂线时，MNMNMNMN 最小。设 BE=BE=BE=BE=x，CE=ME=CE=ME=CE=ME=CE=ME=xa，EN=E
6、N=EN=EN=x22，MN=MN=MN=MN=()2221xax+=22223aaxx+=3232322aax+。当时ax32=，时，()aMN33min=。【点评】求异面直线间的距离的方法较多，可以根据具体情况灵活选用。【变式演练 1111】正方体 ABCDABCDABCDABCDAAAA1111BBBB1111CCCC1111DDDD1111的棱长为 1111，求异面直线 AAAA1111CCCC1111与 ABABABAB1111间的距离.直线到平面的距离方法一几何法高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网使用情景直线上一点在平面的射影位置比较容易确定。解题步骤找作 证（定义）
7、求（解三角形）方法二向量法使用情景直线上的点在平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。解题步骤建立空间直角坐标系 求平面 的法向量 求平面的斜向量 AB的坐标（,Al B）代入公式nnABd=，即得直线l 到平面 的距离。（2222）3142374ABAsinAAABSS11BBAACCAA1111=BBBB1111BBBBAAAA1111AAAA，BBBB1111BBBBBCBCBCBC，即侧面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC 为矩形。2874SCCBB11=又34443SS2ABCCBA111=，SSSS 全=)cm(33628234282
8、3142+=+（3333）coscoscoscosAAAA1111AB=cosAB=cosAB=cosAB=cosAAAA1111AOAOAOAOcoscoscoscosOABOABOABOAB，coscoscoscosAAAA1111AO=AO=AO=AO=3330cos60cosOABcosABAcos001=sinsinsinsinAAAA1111AO=AO=AO=AO=36，AAAA1111O=AO=AO=AO=A1111AsinAsinAsinAsinAAAA1111AO=AO=AO=AO=637)cm(228637443OASV321ABC=（4444）把线 AAAA1111AAA
9、A 到侧面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC 的距离转化为点 AAAA 或 AAAA1111到平面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC 的距离为了找到 AAAA1111在侧面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC 上的射影，首先要找到侧面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC 的垂面设平面 AAAAAAAA1111MMMM 交侧面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC 于 MMMMMMMM1111 BCBCBCBCAMAMAMAM，BCBCBCBCAAAA1111AAAA BCBCBCBC平面 AAAAAAAA1111MMMM1
10、111MMMM 平面 AAAAAAAA1111MMMM1111MMMM侧面 BCCBCCBCCBCC1111BBBB1111在平行四边形 AAAAAAAA1111MMMM1111MMMM 中过 AAAA1111作 AAAA1111HHHHMMMM1111MMMM，HHHH 为垂足则 AAAA1111HHHH侧面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC 线段 AAAA1111HHHH 长度就是 AAAA1111AAAA 到侧面 BBBBBBBB1111CCCC1111CCCC 的距离高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网)cm(223632AMAsinMAHMAsinMAHA
11、11111111=【点评】：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用作垂线。【变式演练 2222】已知正三棱柱111CBAABC 的底面边长为 8888，对角线101=CB，DDDD 是 ACACACAC 的中点。（1111）求点1B 到直线 ACACACAC 的距离。（2222）求直线1AB 到平面BDC1的距离。例 4444在长方体 ABCDABCDABCDABCDAAAA1111BBBB1111CCCC1111DDDD1111中，ABABABAB=4=4=4=4，BCBCBCBC=3=3=3=3，CCCCCCCC1111=2=2=2=2，如图：（1
12、111）求证：平面 AAAA1111BCBCBCBC1111平面 ACDACDACDACD1111；（2222）求(1)(1)(1)(1)中两个平行平面间的距离；（3333）求点 BBBB1111到平面 AAAA1111BCBCBCBC1111的距离。解：（1111）证明：由于 BCBCBCBC1111ADADADAD1111，则 BCBCBCBC1111平面 ACDACDACDACD1111，同理，AAAA1111BBBB平面 ACDACDACDACD1111，则平面 AAAA1111BCBCBCBC1111平面 ACDACDACDACD1111。（2222）解：设两平行平面 AAAA111
13、1BCBCBCBC1111与 ACDACDACDACD1111间的距离为 dddd，则 dddd 等于 DDDD1111 到 平 面 AAAA1111BCBCBCBC1111 的 距 离。易 求 AAAA1111CCCC1111=5=5=5=5，AAAA1111BBBB=2=2=2=25，BCBCBCBC1111=13，则 coscoscoscosAAAA1111BCBCBCBC1111=652，则 sinsinsinsinAAAA1111BCBCBCBC1111=6561，则 SSSS111CBA=61。由于111111DCABBCADVV=，则 31 SSSS11BCAdddd=)21(3
14、1111DCADBBBBBBBB1111，代入求得 dddd=616112，即两平行平面间的距离为616112。（3333）解：由于线段 BBBB1111DDDD1111被平面 AAAA1111BCBCBCBC1111所平分，则 BBBB1111、DDDD1111到平面 AAAA1111BCBCBCBC1111的距离相等，则由（2222）知点 BBBB1111到平面 AAAA1111BCBCBCBC1111的距离等于616112。D1C1B1A1DCBABACD1A1B1C高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网【高考精选传真】1.1.1.1.【2012201220122012 高考真
15、题全国卷理 4444】已知正四棱柱 ABCD-ABCD-ABCD-ABCD-AAAA1111BBBB1111CCCC1111DDDD1111 中，AB=2AB=2AB=2AB=2，CCCCCCCC1111=2 2EEEE为 CCCCCCCC1111的中点，则直线 ACACACAC1111与平面 BEDBEDBEDBED 的距离为（）AAAA2222BBBB3CCCC2DDDD1111【反馈训练】1111、三棱柱 ABCABCABCABCAAAA1111BBBB1111CCCC1111中，AAAAAAAA1111=1=1=1=1，ABABABAB=4=4=4=4，BCBCBCBC=3=3=3=3
16、，ABCABCABCABC=90=90=90=90,设平面 AAAA1111BCBCBCBC1111与平面 ABABABABCCCC的交线为 llll，则 AAAA1111CCCC1111与 llll 的距离为()A.A.A.A.10B.B.B.B.11C.2.6C.2.6C.2.6C.2.6D.2.4D.2.4D.2.4D.2.42.2.2.2.已知正四棱柱 ABCDABCDABCDABCDAAAA1111BBBB1111CCCC1111DDDD1111，点 EEEE 在棱 DDDD1111DDDD 上，截面 EACEACEACEACDDDD1111BBBB 且面 EAEAEAEACCCC
17、与底面 ABCABCABCABCDDDD所成的角为 45454545,ABABABAB=aaaa,求：(1)(1)(1)(1)截面 EACEACEACEAC 的面积；(2)(2)(2)(2)异面直线 AAAA1111BBBB1111与 ACACACAC 之间的距离；(3)(3)(3)(3)三棱锥 BBBB1111EACEACEACEAC 的体积.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网3333、如图，在梯形 ABCDABCDABCDABCD 中，ADADADADBCBCBCBC，ABCABCABCABC=2,ABABABAB=31 ADADADAD=aaaa,ADCADCADCADC=
18、arccos=arccos=arccos=arccos552,PAPAPAPA面 ABCDABCDABCDABCD 且 PAPAPAPA=aaaa.(1)(1)(1)(1)求异面直线 ADADADAD 与 PCPCPCPC 间的距离；(2)(2)(2)(2)在线段 ADADADAD 上是否存在一点 FFFF，使点 AAAA 到平面 PCFPCFPCFPCF 的距离为 36.4、如图，AFAFAFAFDEDEDEDE 分别是OOOOOOOO1的直径ADADADAD 与两圆所在的平面均垂直，ADADADAD8,BCBCBCBC 是OOOO 的直径，ABABABABACACACAC6，OEOEOEO
19、E/ADADADAD()求直线 BDBDBDBD 与 EFEFEFEF 所成的角；()求异面直线 BDBDBDBD 和 EFEFEFEF 之间的距离.连结 BBBB1111DDDD1111、BDBDBDBD，设 BBBB1111DDDD1111AAAA1111CCCC1111=OOOO1111,BDBDBDBDACACACAC=OOOOACACACACBDBDBDBD，ACACACACDDDDDDDD1111，ACACACAC平面 BBBBBBBB1111DDDD1111DDDD平面 ABABABAB1111CCCC平面 BBBBBBBB1111DDDD1111DDDD，连结 BBBB1111
20、OOOO，则平面 ABABABAB1111CCCC平面 BBBBBBBB1111DDDD1111DDDD=BBBB1111OOOO作 OOOO1111GGGGBBBB1111OOOO 于 GGGG，则 OOOO1111GGGG平面 ABABABAB1111CCCCOOOO1111GGGG 为直线 AAAA1111CCCC1111与平面 ABABABAB1111CCCC 间的距离，即为异面直线 AAAA1111CCCC1111与 ABABABAB1111间的距离.在 RtRtRtRtOOOOOOOO1111BBBB1111中，OOOO1111BBBB1111=22，OOOOOOOO1111=1=
21、1=1=1，OBOBOBOB1111=21121BOOO+=26OOOO1111GGGG=331111=OBBOOO，即异面直线 AAAA1111CCCC1111与 ABABABAB1111间距离为33.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网解法二：如图，在 AAAA1111CCCC 上任取一点 MMMM，作 MNMNMNMNABABABAB1111于 NNNN，作 MRMRMRMRAAAA1111BBBB1111于 RRRR，连结 RNRNRNRN，（1111）连结 BDBDBDBD，DB1，由三垂线定理可得：ACDB1，所以DB1就是1B 点到直线 ACACACAC 的距离。在B
22、DBRt1中,6810222211=BCCBBB34=BD2122121=+=BBBDDB。（2222）因为 ACACACAC 与平面 BDBDBDBD1C 交于的中点，设EBCCB=11，则1AB/DE/DE/DE/DE，所以1AB/平面BDC1，所以1AB 到平面 BDBDBDBD1C 的距离等于点到平面 BDBDBDBD1C 的距离，等于点到平面BDBDBDBD1C 的距离，也就等于三棱锥1BDCC 的高。BDCCBDCCVV=11，131311CCShSBDCBDC=，131312=h所以，直线1AB 到平面BDBDBDBD1C 的距离是131312。【变式演练 3 详细解析】由直线与
23、平面所成角的定义及平行平面距离定义易得与间距离为 6 由面面平行的性质定理可得 BCAB=EFDE，BCABAB+=EFDEDE+，即1244+=10DE DE=25答案：625高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网【反馈训练详细解析】1C.【解析】：交线 l 过 B 与 AC 平行，作 CDl 于 D，连 C1D，则 C1D 为 A1C1与 l 的距离，而 CD等于 AC 上的高，即 CD=512,RtC1CD 中易求得 C1D=513=2.6 答案：C2.2.2.2.【解析】：(1)(1)(1)(1)连结 DBDBDBDB 交 ACACACAC 于 OOOO，连结 EOEOEOE
24、O，底面 ABCDABCDABCDABCD 是正方形DODODODOACACACAC，又 EDEDEDED面 ABCDABCDABCDABCD32422322311aaaVEACB=3.3.3.3.【解析】：(1)(1)(1)(1)BCBCBCBCADADADAD,BCBCBCBC 面 PBCPBCPBCPBC,ADADADAD面 PBCPBCPBCPBC从而 ADADADAD 与 PCPCPCPC 间的距离就是直线 ADADADAD 与平面 PBCPBCPBCPBC 间的距离.过 AAAA 作 AEAEAEAEPBPBPBPB，又 AEAEAEAEBCBCBCBCAEAEAEAE平面 PBC
25、PBCPBCPBC，AEAEAEAE 为所求.在等腰直角三角形 PABPABPABPAB 中，PAPAPAPA=ABABABAB=aaaaAEAEAEAE=22 aaaa(2)(2)(2)(2)作 CMCMCMCMABABABAB，由已知 coscoscoscosADCADCADCADC=552tantantantanADCADCADCADC=21,即 CMCMCMCM=21 DMDMDMDMABCMABCMABCMABCM 为正方形，ACACACAC=2 aaaa,PCPCPCPC=3 aaaa过 AAAA 作 AHAHAHAHPCPCPCPC,在 RtRtRtRtPACPACPACPAC
26、中，得 AHAHAHAH=36高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网cos,|BDFEBD EFBDFE=0 1864821010082+=5.【解析】：建立空间直角坐标系，则 DDDD（0，0，0）、AAAA（aaaa，0，0）、BBBB（aaaa，aaaa，0）、CCCC（0，aaaa，0）、MMMM（0，0，aaaa）、EEEE（aaaa，0，aaaa）、FFFF（0，aaaa，aaaa），则由中点坐标公式得 PPPP（2a,0,2a）、QQQQ（2a,2a,0）（1）PM=（2a，0，2a），FQ=（2a，2a，aaaa），PM FQ=(2a)2a+0+2a(aaaa)=43 aaaa2，且|PM|=22 aaaa，|FQ|=26 aaaa.coscoscoscos PM，FQ=|PM FQPMFQ =aaa2622432=23.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网 设所求距离为 dddd，则|PE ndn=33 aaaa.
