1、2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1设m为实数，点P（m，4）为角的终边上一点，且sin，则m 2设常数k0，已知函数ysin（kx+）的最小正周期为2，则k的值为 3若tan，则tan（+） 4已知，则cos2x 5在ABC中，AB1，C30，则BC的取值范围是 6若sin（），则cos（） 7函数ycos2xsinx的值域为 8若sin、cos是关于x的方程x2ax+a0的两个根，则实数a的值为 9已知函数yasinx+cosx的图象关于直线x成轴对称图形，则实数a 10函数在区间0，n上至少取得2个最大值，则正整数n的最小值是 11
2、已知方程sinx+cosxk在区间0上恰有两个解，则实数k的取值范围是 12函数y2sin（x+）在区间（，2）内不存在零点，则正实数的取值范围是 二、选择题（共4小题）.13设xR，则“sinx”是“cos2x”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非非必要条件14已知是第三象限角，满足|sin|sin，则是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限15要得到ycos3x的图象，只需将函数ysin3x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位16已知R，函数f（x）（x6）2sin（x），存在常数aR，使f（x+a）为偶函数，则的值可能为（
3、）ABCD三、解答题17已知（，），（，），且sin，cos，求cos（+）的值18在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c（）若c2，且ABC的面积，求a，b的值；（）若sinC+sin（BA）sin2A，试判断ABC的形状19已知f（x）sin（2x+）+1（1）求函数yf（x）的单调增区间；（2）若关于x的不等式f（x）1m对x，恒成立，求实数m的取值范围202021年5月，在美丽崇明岛将举办第十届中国花卉博览会，主办方要对布展区域精心规划，如图扇形OMN是一个布展区域的平面示意图，其中扇形半径为100米，MON（1）如图1，主办方在该区域内铺设了一条由线段AB和弧组成的道路
4、，线段AB的一个顶点B在弧上，另一顶点A在半径OM上，且ABON，经测量线段OA的长为80米，现主办方拟在道路的弧段布置一根灯带，求所需灯带的长度（答案精确到0.1）；（2）如图2，拟在该区域内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且ABON，ACON，求花圃ABC面积的最大值21函数yf（x）的定义域为I，对于区间DI，如果存在x1，x2D，x1x2，使得f（x1）+f（x2）2，则称区间D为函数yf（x）的“P区间”（1）判断（，+）是否是函数ysin（x+）+3的“P区间”，并说明理由；（2）设为正实数，若，2是函数ycosx
5、的“P区间”，求的取值范围参考答案一、填空题（共12小题）.1设m为实数，点P（m，4）为角的终边上一点，且sin，则m3解：点P（m，4）为角的终边上一点，且sin，解得m3故答案为：32设常数k0，已知函数ysin（kx+）的最小正周期为2，则k的值为解：函数ysin（kx+）的最小正周期为2，常数k0，可得2，解得k，故答案为：3若tan，则tan（+）3解：tantan（+）3故答案为：34已知，则cos2x解：tanx，cos2x故答案为：5在ABC中，AB1，C30，则BC的取值范围是（0，2解：ABC中，AB1，C30，由正弦定理得2，所以BC2sinA；又A（0，150），所以
6、sinA（0，1，所以2sinA（0，2，即BC的取值范围是（0，2故答案为：（0，26若sin（），则cos（）解：sin（），cos（）cos+（）cos（）sin（），故答案为：7函数ycos2xsinx的值域为，1解：设sint，则cos21t2，ycos2sin（1t2）t（t）2tsinx1，1当t时，ymin；当t1时，ymax1；因此，函数ycos2sin的值域是，1故答案为：，18若sin、cos是关于x的方程x2ax+a0的两个根，则实数a的值为1解：由题意，sin，cos是关于x的方程x2ax+a0的两个实数根，联立可得：a22a10，解得a1，a24a0，a1故答案为：
7、19已知函数yasinx+cosx的图象关于直线x成轴对称图形，则实数a解：函数yasinx+cosx的图象关于直线x成轴对称图形，故当x时，函数值为最值，+，则实数a，故答案为：10函数在区间0，n上至少取得2个最大值，则正整数n的最小值是8解：周期T6在区间0，n上至少取得2个最大值，说明在区间上至少有个周期6所以，n正整数n的最小值是8故答案为811已知方程sinx+cosxk在区间0上恰有两个解，则实数k的取值范围是解：由于f（x）sinx+cosx，由于x0，故，所以函数的图象和yk有两个交点时，参数k的取值范围为：故答案为：12函数y2sin（x+）在区间（，2）内不存在零点，则正
8、实数的取值范围是（0，解：函数y2sin（x+）在区间（，2）内不存在零点，x+（+，2+），2+，；或+，2+2，求得，故正实数的取值范围为（0，故答案为：（0，二、选择题13设xR，则“sinx”是“cos2x”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非非必要条件解：当sinx时，则cos2x12sin2x，充分性成立，当cos2x时，则cos2x12sin2x，sin2x，sinx，必要性不成立，综上，sinx是cos2x的充分不必要条件故选：A14已知是第三象限角，满足|sin|sin，则是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：是第三象限角，+2k+2k，kZ
9、，则+k+k，kZ，即为第二或第四象限角，又|sin|sin，为第四象限角故选：D15要得到ycos3x的图象，只需将函数ysin3x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位解：要得到ycos3x的图象，只需将函数ysin3x的图象向左平移个单位，即ysin（3x+）cos3x得到，要得到ycos3x的图象，只需将函数ysin3x的图象向右平移个单位，即ysin（3x）cos3x得到故选：BC16已知R，函数f（x）（x6）2sin（x），存在常数aR，使f（x+a）为偶函数，则的值可能为（）ABCD解：由于函数f（x）（x6）2sin（x），存在常数aR，f
10、（x+a）为偶函数，则：f（x+a）（x+a6）2sin（x+a），由于函数为偶函数，故：a6，所以：，当k1时故选：C三、解答题17已知（，），（，），且sin，cos，求cos（+）的值解：sin，cos，且（，），（，），cos，sin，cos（+）coscossinsin18在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c（）若c2，且ABC的面积，求a，b的值；（）若sinC+sin（BA）sin2A，试判断ABC的形状解：（）由余弦定理 及已知条件得，a2+b2ab4，又因为ABC的面积等于，所以，得ab4联立方程组解得a2，b2（）由题意得：sinC+sin（BA）sin2A
11、得到sin（A+B）+sin（BA）sin2A2sinAcoA即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosAcosBsinA2sinAcoA所以有：sinBcosAsinAcosA，当cosA0时，ABC为直角三角形当cosA0时，得sinBsinA，由正弦定理得ab，所以，ABC为等腰三角形19已知f（x）sin（2x+）+1（1）求函数yf（x）的单调增区间；（2）若关于x的不等式f（x）1m对x，恒成立，求实数m的取值范围解：（1）由2k+2x+2k+，得：k+xk+，函数f（x）的单调递增区间是：k+，k+，kZ；（2）x，2x+，sin（2x+）1，0f（x）+1，关于x的
12、不等式f（x）1m对x，恒成立，1m+1，解得：m202021年5月，在美丽崇明岛将举办第十届中国花卉博览会，主办方要对布展区域精心规划，如图扇形OMN是一个布展区域的平面示意图，其中扇形半径为100米，MON（1）如图1，主办方在该区域内铺设了一条由线段AB和弧组成的道路，线段AB的一个顶点B在弧上，另一顶点A在半径OM上，且ABON，经测量线段OA的长为80米，现主办方拟在道路的弧段布置一根灯带，求所需灯带的长度（答案精确到0.1）；（2）如图2，拟在该区域内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且ABON，ACON，求花圃AB
13、C面积的最大值解：（1）因为ABON，MON，所以OAB，又OB100，设MOB，（0，），在AOB中，由正弦定理知：，所以OA，则sin（），即sinBON，则所需灯带的长度为100arcsinBON76.5；（2）在ABO中，OB100，ABON，MON，所以OAB，由余弦定理得OB2OA2+AB22OAABcosOAB，所以10000OA2+AB2+OAAB3OAAB，所以OAAB，当且仅当OAAB时取等号，所以SABCOAABsin20平方米所以花圃ABC面积的最大值21函数yf（x）的定义域为I，对于区间DI，如果存在x1，x2D，x1x2，使得f（x1）+f（x2）2，则称区间D为
14、函数yf（x）的“P区间”（1）判断（，+）是否是函数ysin（x+）+3的“P区间”，并说明理由；（2）设为正实数，若，2是函数ycosx的“P区间”，求的取值范围解：（1）（，+）不是函数ysin（x+）+3的“P区间”，理由如下：因为任意x（，+），sin（x+）1，所以sin（x+）+32，所以任意x1，x2（，+）上均有sin（x1+）+3+sin（x2+）+34，所以不存在x1，x2（，+），使得f（x1）+f（x2）2，所以（，+）不是函数ysin（x+）+3的“P区间”（2）因为，2是函数ycosx，0的“P区间”，所以存在x1，x2，2使得cosx1+cosx22，因为cosx1，所以，所以存在k，lZ，使得，因为x1，x2，2，不妨设x1x22，因为0，所以x1x22，所以2k2l2，所以在区间，2内存在两个不同的偶数，当4时，区间，2的长度为24，此时区间，2内必存在两个相邻的偶数，所以4，符合题意，当04时，02k2l28，所以2k，2l2，4，6，当时，有，即34，所以34符合题意，当时，有，即2，符合题意，当时，有，即无解，综上所述，的取值范围为23，+）
