1、习题课(二) 导数的几何意义及其应用一、选择题1曲线y1在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选A因为y1，所以y，yx12，所以曲线在点(1，1)处的切线的斜率为2，所以所求切线方程为y12(x1)，即y2x1.2已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3 B2C1 D解析：选A因为y，所以令y，解得x3，即切点的横坐标为3.3已知函数f(x)xln xa的图象在点(1，f(1)处的切线经过原点，则实数a的值为()A1 B0C. D1解析：选Af(x)xln xa，f(x)ln x1，f(1)1，f(1)a，切线方程为yx1a
2、，001a，解得a1，故选A.4若点P是函数yexex3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是()A. BC. D解析：选B由导数的几何意义，kyexex3231，当且仅当x0时等号成立即tan 1，0，)又x，tan k0)根据题意有f(x)0(x0)恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为0，)6.意大利画家列奥纳多达芬奇(1452.41519.5)的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬，呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名
3、的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：f(x)acosh，其中a为悬链线系数，cosh x称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh x.若直线xm与双曲余弦函数C1、双曲正弦函数C2的图象分别相交于点A，B，曲线C1在点A处的切线l1与曲线C2在点B处的切线l2相交于点P，则下列结论正确的为()Acosh(xy)cosh xcosh ysinh xsinh yBysinh xcosh x是偶函数C(cosh x)sinh xD若PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数m0解析：选ACDcosh xcosh ysinh xsinh ycosh
4、(xy)，A正确；ysinh xcosh x，记h(x)，则h(x)h(x)，h(x)为奇函数，即ysinh xcosh x是奇函数，B错误；，即(cosh x)sinh x，C正确；对于D，因为ABx轴，因此若PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则kPA0，由kPA0，解得m0，D正确二、填空题7若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab_.解析：依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，f(0)g(0)，即asin 020b，得b0.又mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1.答案：18若曲线yln(xa)的一条切线为yexb，其中a，b为正
5、实数，则a的取值范围为_解析：由yln(xa)，得y.设切点为(x0，y0)，则有bae2.b0，a，aa2，当且仅当a1时等号成立答案：2，)9设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为_解析：yex，则曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率为1，又曲线y(x0)上点P处的切线与曲线yex在点(0,1)处的切线垂直，所以曲线y(x0)在点P处的切线的斜率为1.设P(a，b)，则曲线y(x0)上点P处的切线的斜率为yxaa21，可得a1，又P(a，b)在y上，所以b1，故P(1,1)答案：(1,1)三、解答题10已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(1
6、，f(1)处的切线方程为x2y30，求a，b的值解：f(x).因为直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，所以f(1)1，f(1)，即b1，b，解得a1，b1.11已知函数f(x)，g(x)aln x，aR.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程解：f(x)，g(x)(x0)，设两曲线的交点为P(x0，y0)，则解得a，x0e2，所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)切线的斜率为kf(e2)，所以切线的方程为ye(xe2)，即x2eye20.12设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解：因为f(x)x3ax2bx1，所以f(x)3x22axb.令x1，得f(1)32ab，又f(1)2a，则32ab2a，解得b3.令x2得f(2)124ab，又f(2)b，所以124abb，解得a.则f(x)x3x23x1，从而f(1).又f(1)23，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3(x1)，即6x2y10.
