1、2015届普陀区高三二模数学试卷(理科)2015.04一、填空题(共14题,每题4分,满分56分)1.不等式的解集为 .2.若(为虚数单位),则实数 .3.若函数的最小正周期为,则 .4. 集合,则 .5. 若,则函数的单调递增区间为 .6.如图,若,则以为长半轴,为短半轴,为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数,若函数是偶函数,则 .8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍,若圆锥的高为1,则球的表面积为 .9.已知直线和曲线的极坐标方程分别为和,若和相交于两点,则 .10.如图,机车甲、乙分别停在处,且,甲的速度为4千米/小时,乙的速度是甲的,甲沿北偏东的方向移动,乙沿
2、正北方向移动,若两者同时移动100分钟,则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球,其中5个红色,2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为,则 (结果用最简分数作答).12.若正方形的边长为1,且则 .13.已知复数满足,若,则在复平面上对应的点组成的图形的面积为 .14.,用记号 表示不小于实数的最小整数,例如,;则函数的所有零点之和为 .二、选择题(共4题,每题5分,满分20分)15. 表示直线,表示平面,下列命题正确的是( )A.若,则 B. 若, ,则C. 若,则 D.若,则16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( )A
3、.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件17. 在的展开式中,若第五项的系数与第三项的系数之比为56:3,则展开式中的常数项是( )A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项18.已知均为正整数,记为矩阵中第行、第列的元素,且,(其中,);给出结论:;若为常数,则.其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个三、解答题(本大题共5题,写出必要的文字说明与步骤)19.(本题满分12分,第1小题6分,第2小题6分) 已知函数,.(1)若直线是函数的图像的一条对称轴,求的值;(2)若,求的值域.20.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)在正方体中
4、,是棱的中点.(1)求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数表示)(2)在棱上是否存在一点,使得平面,若存在,指明点的位置,若不存在,请说明理由.20.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)已知函数的反函数为(1)若,求实数的值;(2)若关于的方程在区间内有解,求实数的取值范围;22.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题7分,第3小题5分)如图,射线所在的直线的方向向量分别为,点在内,于,于;(1)若,求的值;(2)若,的面积为,求的值;(3)已知为常数,的中点为,且,当变化时,求动点轨迹方程;23.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)已知数列的前项和为,
5、且,(1)若,求数列的前项和;(2)若,求证:数列为等比数列,并求出其通项公式;(3)记,若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.2015届普陀区高三二模数学试卷(理科)答案2015.04一、填空题(共14题,每题4分,满分56分)1.不等式的解集为 .2.若(为虚数单位),则实数 .3.若函数的最小正周期为,则 2 .4. 集合,则 .5. 若,则函数的单调递增区间为 .6.如图,若,则以为长半轴,为短半轴,为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数,若函数是偶函数,则 1 .8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍,若圆锥的高为1,则球的表面积为 .9.已知直线和曲线的极坐标
6、方程分别为和,若和相交于两点,则 .10.如图,机车甲、乙分别停在处,且,甲的速度为4千米/小时,乙的速度是甲的,甲沿北偏东的方向移动,乙沿正北方向移动,若两者同时移动100分钟,则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球,其中5个红色,2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为,则 (结果用最简分数作答).12.若正方形的边长为1,且则 5 .13.已知复数满足,若,则在复平面上对应的点组成的图形的面积为 .14.,用记号 表示不小于实数的最小整数,例如,;则函数的所有零点之和为 .二、选择题(共4题,每题5分,满分20分)15. 表示直线,表示平面
7、,下列命题正确的是( D )A.若,则 B. 若, ,则C. 若,则 D.若,则16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( A )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件17. 在的展开式中,若第五项的系数与第三项的系数之比为56:3,则展开式中的常数项是( B )A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项18.已知均为正整数,记为矩阵中第行、第列的元素,且,(其中,);给出结论:;若为常数,则.其中正确的个数是( B )A.0个B.1个C.2个D.3个三、解答题(本大题共5题,写出必要的文字说明与步骤)19.(本题满分12分,第1小题6
8、分,第2小题6分) 已知函数,.(1)若直线是函数的图像的一条对称轴,求的值;(2)若,求的值域.解:(1),其对称轴为,因为直线线是函数的图像的一条对称轴,所以,又因为,所以即.(2)由(1)得所以的值域为.20.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)在正方体中,是棱的中点.(1)求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数表示)(2)在棱上是否存在一点,使得平面,若存在,指明点的位置,若不存在,请说明理由.解:(1)(2)存在,在棱的中点.(提示:用空间向量)21.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)已知函数的反函数为(1)若,求实数的值;(2)若关于的方程在区间内有解,求
9、实数的取值范围;解:(1)(2).22.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题7分,第3小题5分)如图,射线所在的直线的方向向量分别为,点在内,于,于;(1)若,求的值;(2)若,的面积为,求的值;(3)已知为常数,的中点为,且,当变化时,求动点轨迹方程;解:(1);(2);(3)设,设直线的倾斜角为,则,根据题意得代入化简得动点轨迹方程为.23.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)已知数列的前项和为,且,(1)若,求数列的前项和;(2)若,求证:数列为等比数列,并求出其通项公式;(3)记,若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.解:(1)(2)由代入得,当时,因为,代入上式整理得,所以的常数.当时,所以数列是等比数列,首项为 ,公比为,其通项公式为(3)由(2)得,它是个单调递减的数列,所以 对任意的,恒成立,所以.由知,所以数列是单调递增的,最小值为,因此,实数的取值范围是.