1、2015届普陀区高三二模数学试卷（理科）2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.不等式的解集为 .2.若（为虚数单位），则实数 .3.若函数的最小正周期为，则 .4. 集合，则 .5. 若，则函数的单调递增区间为 .6.如图，若，则以为长半轴，为短半轴，为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数，若函数是偶函数，则 .8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 .9.已知直线和曲线的极坐标方程分别为和，若和相交于两点，则 .10.如图，机车甲、乙分别停在处，且，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东的方向移动，乙沿
2、正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为，则 （结果用最简分数作答）.12.若正方形的边长为1，且则 .13.已知复数满足，若，则在复平面上对应的点组成的图形的面积为 .14.，用记号 表示不小于实数的最小整数，例如，；则函数的所有零点之和为 .二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. 表示直线，表示平面，下列命题正确的是（ ）A.若，则 B. 若， ，则C. 若，则 D.若，则16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）A
3、.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件17. 在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ ）A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项18.已知均为正整数，记为矩阵中第行、第列的元素，且，（其中，）；给出结论：；若为常数，则.其中正确的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 已知函数，.（1）若直线是函数的图像的一条对称轴，求的值；（2）若，求的值域.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在正方体中
4、，是棱的中点.（1）求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，指明点的位置，若不存在，请说明理由.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数的反函数为（1）若，求实数的值；（2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围；22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线所在的直线的方向向量分别为，点在内，于，于；（1）若，求的值；（2）若，的面积为，求的值；（3）已知为常数，的中点为，且，当变化时，求动点轨迹方程；23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列的前项和为，
5、且，（1）若，求数列的前项和；（2）若，求证：数列为等比数列，并求出其通项公式；（3）记，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.2015届普陀区高三二模数学试卷（理科）答案2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.不等式的解集为 .2.若（为虚数单位），则实数 .3.若函数的最小正周期为，则 2 .4. 集合，则 .5. 若，则函数的单调递增区间为 .6.如图，若，则以为长半轴，为短半轴，为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数，若函数是偶函数，则 1 .8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 .9.已知直线和曲线的极坐标
6、方程分别为和，若和相交于两点，则 .10.如图，机车甲、乙分别停在处，且，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为，则 （结果用最简分数作答）.12.若正方形的边长为1，且则 5 .13.已知复数满足，若，则在复平面上对应的点组成的图形的面积为 .14.，用记号 表示不小于实数的最小整数，例如，；则函数的所有零点之和为 .二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. 表示直线，表示平面
7、，下列命题正确的是（ D ）A.若，则 B. 若， ，则C. 若，则 D.若，则16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ A ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件17. 在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ）A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项18.已知均为正整数，记为矩阵中第行、第列的元素，且，（其中，）；给出结论：；若为常数，则.其中正确的个数是（ B ）A.0个B.1个C.2个D.3个三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19.（本题满分12分，第1小题6
8、分，第2小题6分） 已知函数，.（1）若直线是函数的图像的一条对称轴，求的值；（2）若，求的值域.解：（1），其对称轴为，因为直线线是函数的图像的一条对称轴，所以，又因为，所以即.(2)由（1）得所以的值域为.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在正方体中，是棱的中点.（1）求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，指明点的位置，若不存在，请说明理由.解：（1）（2）存在，在棱的中点.(提示：用空间向量)21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数的反函数为（1）若，求实数的值；（2）若关于的方程在区间内有解，求
9、实数的取值范围；解：（1）（2）.22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线所在的直线的方向向量分别为，点在内，于，于；（1）若，求的值；（2）若，的面积为，求的值；（3）已知为常数，的中点为，且，当变化时，求动点轨迹方程；解：（1）；（2）；（3）设，设直线的倾斜角为，则，根据题意得代入化简得动点轨迹方程为.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列的前项和为，且，（1）若，求数列的前项和；（2）若，求证：数列为等比数列，并求出其通项公式；（3）记，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.解：（1）(2)由代入得，当时，因为，代入上式整理得，所以的常数.当时，所以数列是等比数列，首项为 ，公比为，其通项公式为（3）由（2）得，它是个单调递减的数列，所以 对任意的，恒成立，所以.由知，所以数列是单调递增的，最小值为，因此，实数的取值范围是.