1、与圆有关的最值范围问题一基础知识回顾1、圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.2、圆上的点到直线的距离最值问题已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 3、切线长度最值问题1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的
2、点作圆的切线，切线长的最小值为.4、过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.5、利用代数法的几何意义求最值（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题二题型分类1.圆上动点到定点2.圆上两动点3.圆上动点到直线距离最值4.切线长最值5.圆内定点弦长最值6.面积最值7.代数式几何化最值截距型8.代数式几何化最值斜率型9.代数式几何化最值距离型三常用方法策略1.数形结合2.转化到圆心问题3.三角换元四例题解析1.圆
3、上动点到定点例1.若点M在曲线上，O为坐标原点，则的取值范围是_曲线，即，表示圆心，半径的圆，则，因为点在曲线上，所以，即，即；故答案为：例2.在圆上与点距离最大的点的坐标是_，点在圆外圆上与点距离最远的点，在圆心与点连线上，且与点分别在圆心两侧，令直线解析式：，由于直线通过点和，可得直线解析式：，与圆的方程联立，可得，或交点坐标为和，其中距离点较大的一个点为.2.圆上两动点例1.已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】由，消去参数得，所以在以为圆心，为半径的圆上，又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，的最大值为故选：C.例2.设圆与圆，
4、点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 A B C D【答案】B【解析】根据题意，圆，即，其圆的圆心，圆，即，其圆的圆心，如图所示：对于直线上的任一点，有，求的最小值即求的最小值，即可看作直线上一点到两定点、距离之和的最小值减去7，由平面几何的知识易知当关于直线对称的点为，与、共线时，的最小值，其最小值为，故的最小值为；故选：3.圆上动点到直线距离最值例1.点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（ ）A B1 C D【答案】C【解析】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径所以点到直线的最短距离为故选：C例2.直线分别
5、与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】圆心到直线距离，所以点P到距离即高的范围，又可求得，所以面积的取值范围为.故选：A.4.切线长最值例1.直线上一点向圆引切线长的最小值为（ ）A B1 C D3【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为.所以切线长的最小值为，故选：B例2.已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是_.【答案】【解析】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即.又到的距离，故切线长的最小值是 5. 圆内定点弦长最值例1.已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N
6、，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ）A B C D【答案】C【解析】直线l：，即，所以直线过定点，圆半径，点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短， 此时故选：C例2.当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）A B C D【答案】C【解析】因为圆的圆心为,半径，又因为直线过定点A(-1,1),故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有，即，解得.故选：C.6. 面积最值例1.点P是直线上的动点，PA，PB与圆分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为_【答案】8【解析】如图所示，因为S四边形PAOB2SPOA.又OAAP，所以为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即
7、为点O到直线的距离：故所求最小值为.7. 代数式几何化最值截距型例1（2022全国高三专题练习）已知点是圆上的动点，则的最大值为（）ABC6D5【答案】A【解析】由，令，则，所以当时，的最大值为故选：A例2（2022全国高三开学考试（文）已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（）A4BCD【答案】C【解析】因为圆：经过点，又，所以，可看成是直线在轴上的截距如图所示，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为故选：C8.代数式几何化最值斜率型例1.（多选题）（2022山东泰安三模）已知实数x，y满足方程，则下列
8、说法正确的是（）A的最大值为B的最小值为0C的最大值为D的最大值为【答案】ABD【解析】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，A，B正确；表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，所以最大值为，又，所以的最大值为，C错，因为可化为，故可设，所以，所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，故选：ABD9.代数式几何化最值距离型例1.设是圆上任意一点，则的最大值为 A6 B25 C26 D36【答案】【解析】表示圆上的点到点的距离的平方，圆的圆心，半径为1，圆心到点的距离为，的最大值是故选：例2.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则（|PA|2|PB|2）的最大值为（）A3B74C84D168【答案】C【解析】以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系不妨令A（1，0），则B（1，0），设P（x，y）由，则，化简得：（x2）2y23为P的轨迹方程，其中x2y2可以看作圆（x2）2y23上的点（x，y）到点（0，0）的距离的平方，x2y2的最大值为（2）274，x2y21的最大值为84，即的最大值为84
