1、第19讲导数的综合应用导数与方程1已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c(A)A2或2 B9或3C1或1 D3或1 由三次函数的图象与x轴恰有两个公共点，结合函数的图象，可得极大值或极小值为零即可满足要求而f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，取得极值，由f(1)0或f(1)0，可得c20或c20，所以c2.2若曲线f(x)ax2ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是(A)A(，0) B(，0C0，) D(0，) 该函数的定义域为(0，)f(x)2ax.因为曲线f(x)ax2ln x存在垂直于y轴的切线，问题转化为方程2ax0在(0，)内有解，于是可得a(，0
2、)3已知x0是函数f(x)2sin xln x(x(0，)的零点，设x1，x2(0，)，且x1x2，则 x0(1，e); x0(e，)；f(x1)f(x2)0.其中正确的命题是(A)A BC D f(x)2cos x.当x(0，)时，2，f(x)0；当x时，f(x)20；当x(，)时，12，则f(x)0，综上可知，f(x)f(x2)，即f(x1)f(x2)0，正确因为f(1)2sin 1ln 12sin 10，f(e)2sin e0，所以x0(1，e)，即正确4(2018汕头模拟)已知函数f(x)mx有两个零点，则实数m的取值范围是(A)A. (0，) B(0，)C(，) D(，) 函数f(x
3、)mx有两个零点方程mx0有两个不等实数根函数y的图象与ymx的图象有两个不同交点，由y，得y(x0)，所以当x(0，e)时，y0，当x(e，)时，y0.所以y在(0，e)上为增函数，在(e，)上为减函数，作出函数y与ymx的图形如图：设过原点的直线与y相切于(x0，)，则切线方程为y(xx0)把O(0，0)代入，可得，解得x0.所以切点坐标为(，)则原点与切点连线的斜率为k.则函数f(x)mx有两个零点的实数m的取值范围是(0，)5方程x33xk有3个不等的实根，则常数k的取值范围是(2，2). 令f(x)x33x，要使x33xk有三个不等的实根，则f(x)x33x与yk有3个交点又f(x)
4、3x23，由f(x)0得x1.故f(x)在(，1和1，)上递增，在(1,1)上递减，所以x1时，f(x)取极大值2；x1时f(x)取极小值2.根据单调性情况画出yx33x的大致图象，可得2k2；a0，b2；a1，b2. 令f(x)x3axb，则f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，正确；当a0时，若a3，则f(x)3x233(x1)(x1)，所以f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要使f(x)0仅有一个实根，需f(x)极大0或f(x)极小0，所以b2或b2，正确，不正确故填.7(2017河西区二模节选)设函数f(x)x3ax(a0)，g(x)bx
5、22b1.当b时，若函数h(x)f(x)g(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求实数a的取值范围 当b时，h(x)x3x2axa(a0)，所以h(x)x2(1a)xa(x1)(xa)所以h(x)在(，1)上递增，在(1，a)上递减，在(a，)上递增所以当x(2,0)时，h(x)在(2，1)上递增，在(1,0)上递减函数h(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，则 即 解得0a0，所以方程有两个实根t1，t2，不妨设t1t2，又t1t20，所以t1，t2一正一负对t求导得t，则t在(0，e)单调递增，在(e，) 单调递减，t的图象如下图所示由图象可知，t10，0t2，所以0，解得ae.9f(x)
6、x2x2ln xa在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a的取值范围是a|a或a2ln 24. 根据题意，f(x)x1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数，若函数f(x)在区间(0,2)上恰有一个零点，则f(1)0或f(2)0，即f(2)42ln 2a0，所以a2ln 24；由f(1)a0，得a.综上，a2ln 24或a.10(2018黑龙江省大庆市高三月考)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22. (1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)设a0，则f(x)(x2)ex，f(
7、x)只有一个零点设a0，则当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且bln ，则f(b)(b2)a(b1)2a(b2b)0，故f(x)存在两个零点设a0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，则ln(2a)1，故当x(1，)时，f(x)0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a，则ln(2a)1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0；当x(ln(2a)，)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)内单调递减，所以x1x22等价于f(x1)f(2x2)，即f(2x2)0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2a(x21)20，所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.设g(x)xe2x(x2)ex，则g(x)(x1)(e2xex)所以当x1时，g(x)0，而g(1)0，故当x1时，g(x)0.从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.
