1、2020届高三数学4月份教学质量测评试题 理本试题卷共4页，23题。全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的
2、非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z1，则zA.0 B.1 C. D.22.设集合Ax|x3，Bx|log3(xa)0，则a3是BA的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.设等差数列an的前n项和为Sn，已知a35，a7a930，则S10A.85 B.97 C.100 D.1754.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积。刘徽形容他的
3、割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将100粒豆子随机撒入圆盘内，发现只有4粒豆子不在正十二边形内。据此实验估计圆周率的近似值为A. B. C. D.5.已知xlg2，yln3，zlog23，则A.xzy B.zyx C.xyz D.zx0；f(x)在(3，)上单调递增；f(x)的值域为12cos2，32cos2；f(x)在0，2上的所有零点之和为4。则正确结论的序号为A. B. C. D.11.设点F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左、右支上，若，且，则双曲线C的离心率为A. B.
4、 C. D.12.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，P分别在AA1，A1D1，D1C1上，M为AA1的中点，2，过点A作平面，使得BC1，若a平面A1B1C1D1m，平面MNPn，则直线m与直线n所成的角的正切值为A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在的展开式中，常数项为 (用数字作答)。14.在等腰直角ABC中，AB2，BAC90，AD为斜边BC的高，将ABC沿AD折叠，使二面角BADC为60，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为 。15.在ABC中，AB5，AC4，BC3，已知MN为ABC内切圆的一条直径，点P在ABC的外接圆上，则的最大值
5、为 。16.用符号x表示不超过x的最大整数，例如：0.60；2.32；55。设函数f(x)ax22ln2(2x)(2ax2)ln(2x)有三个零点x1，x2，x3(x1x2x3)，且x1x2x33，则a的取值范围是 。三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b22acsinB(ac)2，ABC的面积为2。(1)求角B；(2)设，b，|ac|成等比数列，求的最小值。18.(12分)如图所示，在三棱柱
6、ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1为菱形，A1AC60，AC2，侧面CBB1C1为正方形，平面ACC1A1平面ABC。点N为线段AC的中点，点M在线段AB上，且2。(1)证明：平面BB1C1C平面ACC1A1；(2)求直线BB1与平面B1MN所成角的正弦值。19.(12分)设以ABC的边AB为长轴且过点C的椭圆的方程为，椭圆的离心率e，ABC面积的最大值为2，AC和BC所在的直线分别与直线l：x4相交于点M，N。(1)求椭圆的方程；(2)设ABC与CMN的外接圆的面积分别为S1，S2，求的最小值。20.(12分)2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗击疫情。某市要求全体市民在家
7、隔离，同时决定全市所有学校推迟开学。某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课，每天共280分钟，请学生自主学习。区教育局为了了解高三上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取。随机抽样的方法抽取了100名学生进行问卷调查，为了方便表述把学习时间在(0，120分钟的学生称为A类把学习时间在(120，200分钟的学生称为B类，把学习时间在(200，280分钟的学生称为C类，随机调查的100名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示：以频率估计概率回答下列问题：(1)求100名学生中A，B，C三类学生分别有多少人?(2)在A，B，C三类学生中，按分层抽样的方法从上述100个
8、学生中抽取10人。并在这10人中任意邀请3人电话访谈，求邀请的3人中是C类的学生人数的分布列和数学期望；(3)某校高三(1)班有50名学生，某天语文和数学老师计划分别在19：0019：40和20：0020：40在线上与学生交流，由于受校园网络平台的限制，每次只能30个人同时在线学习交流。假设这两个时间段高三(1)班都有30名学生相互独立地随机登录参加学习交流。设有位同学参加语文或数学学习交流，当为多少时，其概率最大。21.(12分)已知函数f(x)4axsinx2axcosx，(aR)。(1)若a，当x(0，)时，证明：f(x)；(2)若当x0，)时，f(x)0，求a的取值范围。(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。22.选修44：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为2，点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上。(1)求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)求|PQ|的最大值。23.选修45：不等式选讲(10分)设a，b，c都是正数，且abc1。(1)求的最小值；(2)证明：a4b4c4abc。