1、2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1集合MxR|x2020，有下列四个式子：M；M；M；M，其中正确的是 （填序号）2将化为有理数指数幂的形式为 3陈述句“x1或y1”的否定形式是 4若0a1，s0，则as 1（填符号“，”）5已知集合Ax，y，B2x，2x2，且AB，则集合A 6已知集合Px|2x10，非空集合Sx|1mx1+m，若xP是xS的必要条件，则实数m的取值范围为 7关于x的不等式|2xa|+a6的解集是（1，3），则实数a 8如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是 9若实数a，b，m满足2a72bm，且2
2、，则m的值为 10已知正数x，y满足4x+9yxy且x+ym224m有解，则实数m的取值范围是 11不等式（ax+3）（x2b）0对x（，0）恒成立，其中a，bZ，则a+b 12已知实数abc，且满足：a+b+c1，a2+b2+c23，则sb+c的取值范围是 二、选择题13已知a1a2b1b20，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b10与a2x+b20有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件14设lg2a，lg3b，则log1225的值是（）ABCD15若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）；A4B3C2D116已知，集
3、合Mx|f（x）0x1，x2，x7Z，且c1c2c3c4，则c4c1不可能的值是（）A4B9C16D64三、解答题17已知集合Ax|x23x+20，Bx|x2ax+a10，Cx|x2+2（m+1）x+m250（1）若ABA，求实数a的值；（2）若ACC，求实数m的取值范围18经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P3（其中0xa，a为正常数）已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用）
4、，产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19（1）设集合Pn|n3k+1，kN，集合Qn|n3m2，mN，求证：PQ；（2）已知a0，b0，c0，当函数f（x）|x+a|+|xb|+c的最小值为6时，求证：+1220（16分）（1）关于x的不等式（a216）x2（a4）x10的解集为，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若AB中有且只有三个元素，求实数m的取值范围21（18分）已知集合Aa1，a2，
5、an（0a1a2an，n2）具有性质P：对任意的i，j（1ijn），ai+aj与ajai两数中至少有一个属于A（1）分别判断数集0，1，3，4与0，2，3，6是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a10，且nan2（a1+a2+an）；（3）当n5时，若a23，求集合A参考答案一、填空题1集合MxR|x2020，有下列四个式子：M；M；M；M，其中正确的是 （填序号）解：因为3.14，所以元素M，集合M，故正确，错误故答案为：2将化为有理数指数幂的形式为 解：a0，故答案为：3陈述句“x1或y1”的否定形式是x1且y1解：命题为全称命题，则“x1或y1”的否定形式为x1且y1，故答案为：x1
6、且y14若0a1，s0，则as1（填符号“，”）解：0a1时，函数yax为减函数，当s0时，asa01，故答案为：5已知集合Ax，y，B2x，2x2，且AB，则集合A解：显然x0，由AB得，解得故答案为：，16已知集合Px|2x10，非空集合Sx|1mx1+m，若xP是xS的必要条件，则实数m的取值范围为 0，3解：Px|2x10，非空集合Sx|1mx1+m，若xP是xS的必要条件，则SP，解得0m3，m的取值范围是0，3故答案为：0，37关于x的不等式|2xa|+a6的解集是（1，3），则实数a2解：|2xa|+a6，a62xa6a，即a3x3，不等式|2xa|+a6的解集是（1，3），a3
7、1，解得a2故答案为：28如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是 32（当且仅当时取等号）解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积Sab由已知，得a+b+c2，a+b+2，2a+b+2+（2+），2，ab（2）264，Sab32，当且仅当ab2时，S取最大值32故答案为：32（当且仅当时取等号）9若实数a，b，m满足2a72bm，且2，则m的值为 7解：2a72bm，alog2m，2blog7m，blog49m，+2，logm2+logm492，logm982，m298，m7故答案为：710已知正数x，y满足4x+9yxy且x+ym224m有解，则实
8、数m的取值范围是 （，1）（25，+）解：正数x，y满足4x+9yxy，+1，x+y（x+y）（+）+132+1325，当且仅当，即x15，y10时取等号，x+y的最小值为25，x+ym224m有解，25m224m，即m224m250，解得m25或m1，实数m的取值范围是（，1）（25，+）故答案为：（，1）（25，+）11不等式（ax+3）（x2b）0对x（，0）恒成立，其中a，bZ，则a+b10或4解：当b0时，由（ax+3）（x2b）0对x（，0）恒成立，可得ax+30对x（，0）恒成立，则a不存在；当b0时，由（ax+3）（x2b）0对x（，0）恒成立，令f（x）ax+3，g（x）x2
9、b，又g（x）的大致图象如图所示，所以，又a，bZ，所以或，所以a+b4或a+b10故答案为：4或1012已知实数abc，且满足：a+b+c1，a2+b2+c23，则sb+c的取值范围是 解：a+b+c1，a2+b2+c23，b+c1a，bc（b+c）2（b2+c2）a2a1，bc，a2a1，3a22a50，即，1a2，b+c2，下面精确a的下限，假设a1，由abc，由ba1，ca1，所以a21，b21，c21，因此a2+b2+c23，矛盾，故a1，所以b+c1a0，综上可得b+c0，故答案为：二、选择题13已知a1a2b1b20，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b10与a2x+b20
10、有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件解：若时，如取a1b11，a2b21，关于x的不等式a1x+b10与a2x+b20即不等式x+10与x10的解集不相同，“”不能推出“关于x的不等式a1x+b10与a2x+b20的解集相同”，反之，“关于x的不等式a1x+b10与a2x+b20的解集相同”“”，P是Q的充分非必要条件故选：A14设lg2a，lg3b，则log1225的值是（）ABCD解：由lg2a，lg3b，得log1225故选：D15若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）；A4B3C2D1解：a，b为非零实数，（ab）
11、20，展开可得；（ab）20，展开可得a2+b22ab，2（a2+b2）（a+b）2，；取ab1，则不成立；取ab0，则不成立综上可得：成立的只有故选：C16已知，集合Mx|f（x）0x1，x2，x7Z，且c1c2c3c4，则c4c1不可能的值是（）A4B9C16D64解：集合Mx|f（x）0x1，x2，x7Z，则函数f（x）有7个解，且全是整数，又x24x+m0 中两个解满足x1+x24，x1x2m，可知解为2和2，3和1，4和0，5和1，6和2，7和3，8和4，9和5，10和6，.m4，3，0，5，12，21，32，45，60.c1c2c3c4，C44，则C15，或12，或21，或32，或
12、45，或60，.则c4c1不可能的值是4，故选：A三、解答题17已知集合Ax|x23x+20，Bx|x2ax+a10，Cx|x2+2（m+1）x+m250（1）若ABA，求实数a的值；（2）若ACC，求实数m的取值范围解：（1）由x23x+20得x1或2，所以A1，2，由x2ax+a10得x1或a1，所以1B，a1B，因为ABA，所以BA，所以a11或2，所以a2或3；（2）因为ACC，所以CA，当C时，4（m+1）24（m25）0，解得m3，当C1时，无解，当C2时，解得m3，当C1，2时，无解，综上，实数m的取值范围是（，318经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大
13、型集体促销盛宴为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P3（其中0xa，a为正常数）已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（）由题意知，将代入化简得：（0xa）（）当a1时，x（0，1）时y0，所以函数在（0，1）上单调递增x（1，a）时y0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万
14、元时，厂家的利润最大；当a1时，因为函数在（0，1）上单调递增在0，a上单调递增，所以xa时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大综上，当a1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大（注：当a1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）19（1）设集合Pn|n3k+1，kN，集合Qn|n3m2，mN，求证：PQ；（2）已知a0，b0，c0，当函数f（x）|x+a|+|xb|+c的最小值为6时，求证：+12【解答】证明：（1）先证PQ，任取nP，存在mk+1N，使得n3k+13（k+1）23m2Q，PQ，又2Q，2P，PQ，即得证（2）证明：f
15、（x）|x+a|+|xb|+c|（x+a）+（bx）|+ca+b+c6，当且仅当abc2时取等号，故20（16分）（1）关于x的不等式（a216）x2（a4）x10的解集为，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若AB中有且只有三个元素，求实数m的取值范围解：（1）当a4时，10无解，满足题意，当a4时，8x10有解，舍去，当a4时，解得，综上，实数a的取值范围是；（2）由得，即（x+2）（m1）x（3m+2）0且x2，当m1时，解集为x（，2），当m1时，且x2，解集为，当m1时，且x2，当0m1时，解集为，当m0时，解集
16、为，当m0时，解集为，综上，当m1时，解集为x（，2），当m1时，解集为，当0m1时，解集为，当m0时，解集为，当m0时，解集为；（3）由（1）得A2，1，0，1，2，3，4，当AB中有且只有三个元素，显然0m1不可能，当m1时，因为，不合题意，舍去，当m0时，因为AB中有且只有三个元素，所以，解得，综上，实数m的取值范围是21（18分）已知集合Aa1，a2，an（0a1a2an，n2）具有性质P：对任意的i，j（1ijn），ai+aj与ajai两数中至少有一个属于A（1）分别判断数集0，1，3，4与0，2，3，6是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a10，且nan2（a1+a2+an）；
17、（3）当n5时，若a23，求集合A【解答】（1）解：因为0+1，0+3，0+4，1+3，41，43都属于数集0，1，3，4，所以数集0，1，3，4具有性质P，因为2+3和32均不属于数集0，2，3，6，所以数集0，2，3，6不具有性质P；（2）证明：令ijn，因为ai+aj与ajai两数中至少有一个属于A，所以an+an不属于A，所以anan属于集合A，即0A，所以a10，令jn，i1，因为ai+aj，与ajai两数中至少有一个属于A，所以ai+aj不属于A，所以ajai属于集合A，令in1，则anan1是集合A中的某一项，若anan1a2，符合题意，若anan1a3，则ana3an1，所以a
18、na2ana3an1，矛盾，同理anan1等于其他项均矛盾，所以anan1a2，同理，令in2，n3，2，可得anai+an+1i，倒序相加得，即nan2（a1+a2+a+an）；（3）解：当n5时，令j5，当i2时，ai+a5a5，因为集合A具有性质P，所以a5aiA，所以a5aiA，i1，2，3，4，5，所以a5a1a5a2a5a3a5a4a5a50，所以a5a1a5，a5a2a4，a5a3a3，所以a2+a4a5，a52a3，所以a2+a42a3，即0a4a3a3a2a3，又因为a3+a4a2+a4a5，所以a3+a4A，所以a4a3A，所以a4a3a2a2a1，所以a5a4a2a2a1，所以a5a4a4a3a3a2a2a1a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a23的等差数列，所以A0，3，6，9，12
