1、数学试卷参考答案 第1页(共7页)20202021 学年度第一学期南开区期末考试试卷参考答案 高三年级数学学科 一、选择题:(本题共 9 小题,每题 5 分,共 45 分)题 号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)答 案ABDCBBDCA二、填空题:(本题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分)(10)5 2;(11)2 33,1(第一个空 2 分,第二个空 3 分);(12)2x+y3=0;(13)833;(14)32,85(第一个空2分,第二个空3分);(15)4三、解答题:(其他正确解法请比照给分)(16)解:()由 cosA=13,0A,得 sinA=2 232 分
2、所以 S=12 bcsinA=22,解得 bc=63 分 又 b c=1,解得 b=3,c=25 分由余弦定理得 a2=b2+c2 2bccosA=(b c)2+2bc 23 bc=9,即 a=37 分()由()及正弦定理sinsinacAC=得32sin2 23C=,解得 sinC=4 29,9 分 因为 cb,所以 cosC=21 sin C=79 10 分 所以 sin2C=2sinCcosC=56 281,cos2C=2cos2C1=1781,12 分数学试卷参考答案 第2页(共7页)O zx yFEADCB所以 cos(2C+A)=cos2CcosA sin2CsinA=1781 1
3、3 56 281 2 23=2327 14 分(17)解:()因为 BF平面 ACE,所以 BFAE因为二面角 D-AB-E 为直二面角,且 CBAB,所以 CB平面 ABE所以 CBAE所以 AE平面 BCE4 分()以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图因为 AE面 BCE,BE面 BCE,所以 AEBE,在 RtAEB 中,AB=2,O 为 AB 的中点,所以 OE=1所以 A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,
4、2)7 分设平面 AEC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则=0=0AEAC ,nn即=+=+,0220 xyyx解得=,xzxy令 x=1,得 n=(1,1,1)是平面 AEC 的一个法向量又平面 BAC 的一个法向量为 m=(1,0,0),13cos=|33,m nmnmn所以二面角 B-AC-E 的正弦值为36 12 分()因为 ADz 轴,AD=2,所以 AD=(0,0,2),数学试卷参考答案 第3页(共7页)所以点 D 到平面 ACE 的距离 d=22=333AD|nn15 分(18)解:()由题意可知,=3=1acac+,解得=2=1ac,所以 b2=a2 c2=3,所以椭圆标
5、准方程为:22=143xy+5 分()由()可知,A(2,0),B(0,3),设直线 AM 的斜率为 k,则直线 BN 的斜率也为 k,故直线 AM 的方程为 y=k(x 2),直线 BN 的方程为 y=kx 3,6 分 由2234=12=2xyyk x+,(),得(3+4k2)x2 16k2x+16k2 12=0,所以2216122=34Mkxk+,所以2286=34Mkxk+,212=34Mkyk+,所以22286123434kMkk+,8 分 由2234=12=3xyykx+,得:(3+4k2)x2 83 kx=0,所以28 3=34Nkxk+,224 33 3=34Nkyk+,数学试卷
6、参考答案 第4页(共7页)所以2228 34 33 33434kkNkk+,10 分 所以2221224 33 33 4334=8 32 44 33234kkkkkkkk+()(),2222221233 44 3334=862 4334kkkkkkkk+()(),12 分 所以 k1k2223 43=2 44 33kkk+()()223 44 333=2 434kkk+()(),14 分 又因为1=2cea,所以 k1k2e2115 分(19)解:()由已知an为等差数列,记其公差为 d 因为 an+1=2an n+1,所以 a2=2a1 1+1,a3=2a2 2+1,即 a1=d,a2=d+
7、1,解得 a1=d=1,所以 an=n4 分从而 b1=2a1=2,b2=a1+a2+a3=6,所以公比 q=3,所以 bn=23n16 分()Sn=12n n+(),1211=211nSn nnn+()()数学试卷参考答案 第5页(共7页)所以 Tn=111111121223341nn+122 111nnn=+9 分()因为 Mn=211iiniab=a1b1+a3b2+a5b3+a2n3bn1+a2n1bn=230+631+1032+2(2n 3)3n2+2(2n 1)3n1所以 3Mn=231+632+1033+2(2n 3)3n1+2(2n 1)3n所以2Mn=230+431+432+
8、1033+43n1 2(2n 1)3n=4 1313n()2 2(2n 1)3n=(4 4n)3n 4,所以 Mn=(2n 2)3n+215 分(20)解:()f(x)=lnx+1,令 f(x)0,得 x(1e,+),所以 f(x)在(1e,+)上单调递增;令 f(x)0,得 x(0,1e),所以 f(x)在(0,1e)上单调递减,所以 f(x)的最小值为 f(1e)=1e 14 分()h(x)=f(x)g(x)=lnx+ax2(a 2)x+1,定义域为(0,+),h(x)=2122121122=axaxxaxaxaxxx+()()()()当 a0 时,h(x)在(0,12)上单调递增,在(1
9、2,+)上单调递减6 分当 2a0 时,令 h(x)0,得 x(1a,+)(0,12),所以 h(x)在(1a,+),(0,12)上单调递增;数学试卷参考答案 第6页(共7页)令 h(x)0,得 x(12,1a),所以 h(x)在(12,1a)上单调递减7 分当 a=2 时,h(x)0,h(x)在(0,+)上单调递增8 分当 a 2 时,令 h(x)0,得 x(12,+)(0,1a),所以 h(x)在(12,+),(0,1a)上单调递增;令 h(x)0,得 x(1a,12),所以 h(x)在(1a,12)上单调递减9 分()G(x)=g(x)+(a 2)x=ax2,因为函数 f(x)的图象与
10、G(x)的图象有两个不同的交点,所以关于 x 的方程 ax2=xlnx 1,即 ax=lnx 1x 有两个不同的根10 分由题知 ax1=lnx1 11x,ax2=lnx2 21x,+得 a(x1+x2)=ln(x1x2)1212xxx x+,得 a(x2 x1)=ln(21xx)+2112xxx x由,得 ln(x1x2)12122 xxx x+()=1221xxxx+ln(21xx),不妨设 0 x1x2,记 t=21xx 1令 F(t)=lnt 211tt+()(t1),则 F(t)=211tt t+()()0,所以 F(t)在(1,+)上单调递增,所以 F(t)F(1)=0,则 lnt
11、 211tt+(),即 ln(21xx)21122 xxxx+(),所以 ln(x1x2)12122 xxx x+()=1221xxxx+ln(21xx)213 分数学试卷参考答案 第7页(共7页)因为 ln(x1x2)12122 xxx x+()ln(x1x2)12124 x xx x=2ln12x x 124x x,所以 2ln12x x 124x x2,即 ln12x x 122x x1令(x)=2ln xx,则(x)在(0,+)上单调递增又 ln2e 22e=12 ln2+12e 1,所以 ln12x x 122x x1ln2e 22e,即(12x x)(2e),所以 x1x22e2两边同时取对数可得 ln(x1x2)2+ln2,得证16 分