1、高 三 数 学（第13讲）主讲教师：孙福明主审教师：高三数学组一、 本讲进度平面向量复习二、本讲主要内容1、 向量的概念； 2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律； 3、向量运算的运用三、学习指导 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形；实数与向量乘积的几何意义共线；定比分点基本图形起点相同的三个向量终点共线等。2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减
2、法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=-=记=(x1,y1)，=(x1,y2)则+=(x1+x2,y1+y2) -=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积=|cos记=(x1,y1), =(x2,y2)则=x1x2+y1y23、 运算律加法：+=+，(+)+=+(+)实数与向量的乘积：(+)=+；(+)=+，()=() 两个向量的数量积：=；()=()=(
3、)，(+)=+说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如()2=4、 重要定理、公式 （1）平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数1，2，满足=1+2，称1+2为，的线性组合。根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(1,2)一一对应，称(1,2)为在基底，下的坐标，当取，为单位正交基底，时定义(1，2)为向量的平面直角坐标。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标
4、为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1) （2）两个向量平行的充要条件符号语言：若，则=坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在这里，实数是唯一存在的，当与同向时，0；当与异向时，0，0则=+ |=|=1 =|，=| OEC中，E=600，OCE=750，由得： 说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。解
5、题思路分析：用解方程组思想设D（x，y），则=（x-2，y+1）=（-6，-3），=0 -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 =(x-3，y-2)， -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 由得： D（1，1），=（-1，2）例3、求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。 解题思路分析：用解方程组思想法一：设=（x，y），则=x-y，=x+y = 即 又|= x2+y2=2 由得 或（舍）=法二：从分析形的特征着手 |=|=2 =0 AOB为等腰直角三角形，如图 |=，AOC=BOC C为AB中点 C（）说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分
6、析图中的几何性质可以简化计算。例4、在OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|=13，|=14，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。解题思路分析： B、P、M共线 记=s 同理，记 = ,不共线 由得解之得： 说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点（1） 利用向量知识判定点P在什么位置时，PED=450；（2） 若PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。解题思路分析：利用坐标系可以确定
7、点P位置如图，建立平面直角坐标系则C（2，0），D（2，3），E（1，0）设P（0，y） =（1，3），=（-1，y） =3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2 点P为靠近点A的AB三等分处（3） 当PED=450时，由（1）知P（0，2） =（2，1），=（-1，2） =0 DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：建立平面直角坐标系；设点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；得到结论。五、 同步练习（一） 选择题1、 平面内三点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若，则x的值为：A、 -5 B、-1 C、1
8、 D、5 2、平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使|=|，则点E坐标为：A、（-8，） B、（） C、（0，1） D、（0，1）或（2，）2、 点（2，-1）沿向量平移到（-2，1），则点（-2，1）沿平移到：3、 A、（2，-1） B、（-2，1） C、（6，-3） D、（-6，3）4、 ABC中，2cosBsinC=sinA，则此三角形是：A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能5、 设， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：()-()=0|-|-|()-()不与垂直(3+2)(3-2)=9|2-4|2中，真命题是
9、：A、 B、 C、 D、6、ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则C度数是：A、600 B、450或1350 C、1200 D、3007、OAB中，=，=，=，若=，tR，则点P在A、AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则=A、（） B、（） C、（7，4） D、（）（二） 填空题 9、已知，|是平面上一个基底，若=+，=-2-，若，共线，则=_。10、已知|=，|=1，=-9，则与的夹角是_。11、设，是两个单位向量，它们夹角为600，则(2-)(-3+2)=_。12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数_的图象。（三） 解答题13、设=（3，1），=（-1，2），试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。14、若+=（2，-8），-=（-8，16），求、及与夹角的余弦值。15、已知|=，|=3，和夹角为450，求当向量+与+夹角为锐角时，的取值范围。六、 参考答案 （一）1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A （二）9、 10、 11、 12、y=sinx+1 （三）13、（11，6） 14、=（-3，4），=（5，-12）， 15、且1
