1、一道数列问题的解法探讨陈兵 焦裕永（山东滕州一中新校数学组 邮编：277500）问题： 已知等差数列和等比数列. 其中， ， ，试判断时，与的大小关系，并给出证明.分析一：先通过特例探索结论的大致方向，即通过，比较与的大小.设数列的公差为，数列的公比为，由，得：，即， . 即 .即.可猜想当时，.证明如下： .即.说明：在这里，特例不仅为我们探明了结论，更为我们 探出了解决问题的思路.分析二：利用分析法证明.要证当时，成立，只需证明成立.而，故只需证明成立.由于，即证.即证.而，故只需证明+ 由于，故当时，.左右分别相加，即得式.所以，当时，有.分析三：利用数学归纳法. 当时，易证 假设当时，
2、即. 那么，当时，（因为，）所以，当时，.根据，对任意正整数，都有.分析四：由数形结合探明结论.在同一坐标系中，作出过，两点的直线和指数曲线，借助该图，容易看出，当时，.并且在区间（）上，两点，连线的斜率恒大于两点，连线的斜率.故得下面的解法：当时，. .故.可得：.（）对赋值，可得： ，.左右分别相加，得：.又，.分析五：借助二项式定理进行放缩.由，得.所以，当时，说明：若写成也可用二项式定理证明.分析六：考虑反证法. 先猜想结论：当时，. 下用反证法证明：若不然，则存在，使得.易验证，不妨设是使 成立的最小正整数.由于，故有： 若为奇数，则为偶数.设 显然.由于均为正数，故，由式，可得：，即.由于，这与是使 的最小正整数矛盾.若为偶数，由式，同理可推得矛盾.这说明假设不成立，故当时，.数列是高中代数的重要内容，是学习高等数学的基础，在高考中占有重要地位.对上述题目的解答，突出反映了数列与函数、不等式、数学归纳法等知识的紧密联系，蕴含着丰富的数学思想和方法. 2003年4月11日作者简介：陈兵，男，汉族，出生年月：1976年10月26日，工作单位：山东省滕州市第一中学新校，中教二级教师. 焦裕永，男，汉族，出生年月：1975年12月13日，工作单位：山东省滕州市第一中学新校，中教二级教师.
