1、7.1.2弧度制及其与角度制的换算【教学目标】1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.【教学重点】理解弧度的意义，会进行弧度制与角度制的换算.【教学难点】弧度制的概念与角度的换算【教学过程】一、课前预习预习课本，思考并完成以下问题(1)1弧度的角是如何定义的？ (2)如何求角的弧度数？ (3)如何进行弧度与角度的换算？ (4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？二、课前小测1下列转化结果错误的是()A60化成弧度是 radB rad化成度是600C150化成弧度是
2、 radD. rad化成度是15答案：C解析：对于A,6060 rad rad；对于B， rad180600；对于C，150150 rad rad；对于D， rad18015.故选C.2.是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案： B解析：4.是第二象限角，是第二象限角3(1) rad化为角度是_(2)105的弧度数是_答案：(1)252(2)解析：(1) rad252；(2)105105 rad rad.4半径为2，圆心角为的扇形的面积是_答案：解析：由已知得S扇22.三、新知探究1度量角的两种单位制(1)角度制：定义：用度作为单位来度量角的单位制1度的角：周角的.(2)
3、弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角2弧度数的计算思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？提示：一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关3角度制与弧度制的换算4一些特殊角与弧度数的对应关系度030456090120135150180270360弧度025.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：lR.(2)扇形面积公式：SlRR2.四、题型突破题型一 角度与弧度的互化与应用【例1】(1)将11230化为弧度为_将rad化为角度为_答案：(1)rad75解析：(1)因为1
4、rad，所以11230112.5 radrad.因为1 rad，所以rad75.(2)已知15， rad，1 rad，105， rad，试比较，的大小解：法一(化为弧度)：1515 rad rad，105105 rad rad.显然1.故.法二(化为角度)： rad18，1 rad57.30，105.显然，151857.30105.故.【反思感悟】角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式 rad180是关键；(2)方法：度数弧度数；弧度数度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.【跟踪训练】1(1)将15730化成弧度为_(2)将 rad化为度是_答案：(1) r
5、ad(2)396解析：(1)15730157.5 rad rad.(2) rad396.2在0,4中，与72角终边相同的角有_(用弧度表示)答案：，解析：因为终边与72角相同的角为72k360(kZ)当k0时，72 rad；当k1时，432 rad，所以在0,4中与72终边相同的角有，.题型二 用弧度数表示角【例2】(1)终边经过点(a，a)(a0)的角的集合是()A.B.C.D.答案：(1)D解析：因为角的终边经过点(a，a)(a0)，所以角的终边落在直线yx上，所以角的集合是.(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合解：因为30 rad,210 rad，这两个角的
6、终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为k，kZ，而终边在y轴上的角为k，kZ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.【反思感悟】1弧度制下与角终边相同的角的表示在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍2根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形(2)写出区域边界作为终边时角的表示(3)用不等式表示区域范围内的角提醒：角度制与弧度制不能混用. 【跟踪训练】3下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)答案：C解析：A，B中弧度与角度混用，不正确2，所以与
7、终边相同31536045，所以315也与45终边相同故选C.4用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.解：30 rad,150 rad.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用探究问题1用公式|求圆心角时，应注意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负2在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错【例3】(1)如图所示，以
8、正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD的弧度数大小为_(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数思路点拨(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求EAD的弧度数(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数解析：(1)答案： 2设AB1，EAD，S扇形ADES阴影BCD，由题意可得1212，解得2.(2)解：设扇形的弧长为l，半径为r，则或扇形的圆心角的弧度数为433或433.【多维探究】1(变条件)将本例(2)中的条件“60”改
9、为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数解：设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r，依题意有由得l102r，代入得r25r40，解得r11，r24.当r1时，l8(cm)，此时，8 rad2 rad舍去当r4时，l2(cm)，此时， rad.2(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.解：设弧长为l，半径为r，由已知l2r60，所以l602r，|，从而S|r2r2r230r(r15)2225，当r15时，S取最大值为225，这时圆心角2 rad，可得弧长ABr21530 (cm)【反思感悟】弧度制下解决
10、扇形相关问题的步骤(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，Sr2和Slr.(这里必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解提醒：看清角的度量制，恰当选用公式五、达标检测1思考辨析()(1)1弧度的角是周角的.(2)1弧度的角大于1度的角答案：(1)(2)提示(1)错误，1弧度的角是周角的.(2)正确2圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是()A. radB. radC. rad D. rad答案：B解析：由弧度数公式，得，因此圆弧所对的圆心角是 rad.3若把570写成2k(kZ,02)的形式，则_.答案：解析：5704.4求半径为 cm，圆心角为120的扇形的弧长及面积解：因为r，120，所以lr cm，Slr cm2.六、本课小结1在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用2弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是弧度制下同时也应注意与其他知识如函数内容的结合七、课后作业1.复习回顾本节内容.2.完成本节配套课后练习高一必修三 7.1.2弧度制及其与角度制的换算课时精练（配套）.
