1、3空间直角坐标系1空间直角坐标系及相关概念如右图，在空间直角坐标系中，O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，x、y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面2空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，其中第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标；反之，任何一个三元有序数组(x，y，z)都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，点与三元有序数组之间就建立了一一对应的关系3空间两点间的距离公式给出空间两点A(x1，y1，z1)，B
2、(x2，y2，z2)，则|AB|.1在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？答案三个2空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？答案空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直3空间两点间的距离公式与平面两间点的距离公式有什么样的区别与联系？答案区别：平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|；在x轴上的两点A，B对应的实数分别是x1，x2，则|AB|x2x1|.联系：空间两点间的距离公式是平面两点
3、间的距离公式的推广空间两点间的距离公式虽然与坐标系的建立无关，但坐标系建立适当可使运算简便题型一. 由点的坐标定位【典例1】在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6)解解法一：第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.解法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长
4、方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P. 针对训练1(1)点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置在()AxOy平面上 BxOz平面上CyOz平面上 Dy轴上(2)在空间直角坐标系中，已知点M(1,2,3)，过该点作y轴的垂线，垂足为M，则M的坐标是()A(1,2,0) B(1,0,3)C(0,2,3) D(0,2,0)解析(1)点(2,0,3)中y0，在xOz平面上(2)M在y轴上，x0，z0，y不变，M的坐标为(0,2,0)答案(1)B(2)D题型二 确定空间中点的坐标【典例2】设正四棱锥SP1P2P3P4的所有棱长均为a，建立
5、适当的坐标系求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标思路导引建系时，应考虑到各点的表示比较方便为宜解以底面中心作为坐标原点，棱P1P2、P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴(如图)正四棱锥SP1P2P3P4，如图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2Oy轴P1P4Ox轴，SO在Oz轴上，|P1P2|a，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上P1，P2 .P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称P3，P4.又|OP1|a.在RtSOP1中，|SO|a.S.(1)建立空间直角坐标系时，应遵循的两个原则让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上充分利用几何图形的对称性(2)求某点M的坐标的方法
6、作MM垂直平面xOy，垂足M，求M的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)针对训练2长方体OABCDABC中，O是坐标原点，OA是x轴，OC是y轴，OD是z轴，E是AB中点，F是BE中点，OA3，OC4，OD3，则点F的坐标为()A. B.C. D(3,0,3)解析由题可知A(3,0,0)，B(3,4,0)，E为AB的中点，E的坐标为(3,2,0)，B(3,4,3)，又F是BE的中点，F.故选B.答案B题型三 求空间中对称点的坐标【典例3】在空间直角坐标系中，点P(2,1,4)(1)求点P关于x轴的对
7、称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标思路导引首先找出该点位置，以图象辅助找解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4)(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2,1，4)(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(x，y，z)；
8、关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，y，z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(x，y，z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(x，y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，z)；关于yOz平面对称的点是P6(x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，y，z)求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆针对训练3求点A(1,2，1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标解如图所示，过点A作AM坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AMCM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1)过点A作ANx轴于点N并延长到点B，使ANNB，则点A与B
9、关于x轴对称且点B(1，2,1)点A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)；点A(1,2，1)关于x轴对称的点为B(1，2,1).题型四 空间两点间的距离公式及其应用【典例4】在四面体PABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PAPBPCa，求点P到平面ABC的距离思路导引根据立体几何中有关距离的定义，点到面得距离，可转化为两点间的距离因此，该题若使用空间两点间的距离公式，首先建立空间坐标系，确定相应点的坐标，再确定P点在平面ABC内的正交投影，然后利用空间两点间的距离公式求解解根据题意，建立如图所示的坐标系，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0
10、，a)过点P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC，H为ABC的外心，又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得点H的坐标为.|PH| a.点P到平面ABC的距离是a.本题在立体几何之中，可以通过等体积法也很容易求解但使用空间两点间的距离公式的方法，思路更为直接，不过运算量没有降低当然，空间坐标系下的问题，离不开立体几何知识针对训练4如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最
11、小值 解如图所示的空间直角坐标系，则P.Q点在CD上，设Q(0,1，z)，z0,1，|PQ|，当z时，|PQ|min.1点P(1,2,0)位于()Ay轴上Bz轴上CxOy平面上 DxOz平面上解析点P(1,2,0)位于xOy平面上答案C2已知点A(3,1，4)，则点A关于原点的对称点的坐标为()A(1，3，4) B(4,1，3)C(3，1,4) D(4，1,3)解析空间中的一点关于原点对称的点的坐标为原先每个点的坐标的相反数故所求的点是(3，1,4)答案C3设点B是点A(2，3,5)关于xOy面的对称点，则|AB|()A10 B.C. D38解析点A(2，3,5)关于坐标平面xOy的对称点是B
12、(2，3，5)，故|AB|10.答案A4在空间中，已知点A(2,3,4)，在y轴上有一点B使得|AB|7，则点B的坐标为_解析设点B的坐标为(0，b,0)，由题意得7，解得b3. 点B的坐标为(0,3，0)或(0,3，0)答案(0,3，0)或(0,3，0) 课后作业(二十七)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1在空间直角坐标系中，点A(1,2，3)关于x轴的对称点为()A(1，2，3) B(1，2,3)C(1,2,3) D(1,2，3)解析两点关于x轴对称，坐标关系：横坐标相同，纵竖坐标相反答案B2设yR，则点P(1，y,2)的集合为()A垂直于xOz平面的一条直线B平行于xOz平
13、面的一条直线C垂直于y轴的一个平面D平行于y轴的一个平面解析点P(1，y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P(1，y,2)的集合为垂直于xOz平面的一条直线，故选A.答案A3结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)其中实圆代表钠原子，空间圆代表氯原子建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是()A. B(0,0,1)C. D.解析设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCDOEFG，如图所示：平面BFGC经过点B与x轴垂直，点B在x轴上
14、的射影为G点，结合G得B的横坐标为；同理可得，点B在y轴上的射影为E点，结合E得B的纵坐标为；点B在z轴上的射影为D点，结合D(0,0,1)得B的竖坐标为1；由此可得点B的坐标为.故选A.答案A4在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()A.B.C.D.解析如图，不妨设B1点为定点由题意知，|B1A|B1C|B1D|1.|OB1|.答案A5已知三点A(1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则()A三点构成等腰三角形B三点构成直角三角形C三点构成等腰直角三角形D三点构不成三角形解析|AB|，|AC|2，|BC|，|AB|BC|AC|，三点A，B，C共
15、线，构不成三角形，故选D.答案D6在空间直角坐标系中，下列说法中：在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)其中正确说法的序号是_解析在x轴上的点的坐标可记作(a,0,0)，故说法错误；在yOz平面上的点的坐标可写成(0，b，c)，故说法正确；在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)，故说法正确；在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)，故说法正确答案7在空间直角坐标系中，自点P(4，2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为_解析过空间任意一点P作x轴的垂线，垂足均为(a,
16、0,0)的形式，其中a为点P在x轴上的分量，所以垂足的坐标为(4,0,0)答案(4,0,0)8以原点为球心，5为半径的球面上的动点P的坐标为P(x，y，z)，则x，y，z满足的关系式为_解析由空间两点间距离公式可得x2y2z225.答案x2y2z2259设有长方体ABCDABCD，长、宽、高分别为|AB|4 cm，|AD|3 cm，|AA|5 cm，N是线段CC的中点分别以AB、AD、AA所在的直线为x轴、y轴、z轴，以1 cm为单位长，建立空间直角坐标系(1)求A、B、C、D、A、B、C、D的坐标；(2)求N的坐标解(1)A、B、C、D都在平面xOy内，点的竖坐标都为0，它们在x轴、y轴所组
17、成的直角坐标系中的坐标分别是(0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3)，因此空间坐标分别是A(0,0,0)、B(4,0,0)、C(4,3,0)、D(0,3,0)A、B、C、D同在一个垂直于z轴的平面内，这个平面与z轴的交点A在z轴上的坐标是5，故这四点的z的坐标都是5.从这四点作xOy平面的垂线交xOy平面于A、B、C、D四点，故A、B、C、D的x，y坐标分别与A、B、C、D相同，由此可知它们的空间坐标分别是A(0,0,5)、B(4,0,5)、C(4,3,5)、D(0,3,5)(2)N是线段CC的中点，有向线段CN的方向与z轴正方向相同，|CN|2.5，因此N的z坐标为2.5，C在xOy平
18、面内的平面坐标为(4,3)，这就是N的x、y坐标，故N的空间坐标为(4,3,2.5)10某人的住房因有关条件限制，只得把电视机摆放在500 cm350 cm的客厅的一角，它的对角是门一天，家里人正坐在客厅内看电视转播的一场精彩的球赛，高185 cm的房主人一赶回家就在门口看起球赛来了如果电视机放在100 cm高的位置，请问，站在门口的房主人和电视机在客厅中的位置，你能用适当的空间直角坐标系中的相关数据来具体刻画吗？解若如图建立空间直角坐标系Oxyz，客厅一边OB长为500 cm.另一边OA长为350 cm，点D为电视机位置，点E为房主从门口看电视的视线始发点故用坐标具体刻画，可加以如下描述：房
19、主下班后一回家，就站在门口的点A(350,0,0)处，两眼聚精会神地从点E(350,0,185)看着放在点D(0,500,100)处的电视里转播的精彩的球赛节目应试能力等级练(时间25分钟)11如图，在正方体ABCDABCD中，棱长为1，|BP|BD|，则P点的坐标为()A. B.C. D.解析连接BD，点P在xDy平面的射影落在BD上，|BP|BD|，PxPy，Pz，故P.答案D12ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是()A.B2C.D3解析BC的中点坐标为M(1,1,0)，又A(0,0,1)，|AM|.答案C13已知点A(1，a，5)，B(2a，7，2)(a
20、R)则|AB|的最小值是_解析|AB|2(2a1)2(7a)2(25)25a210a595(a1)254.a1时，|AB|2的最小值为54.|AB|min3.答案314.如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标解如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，过点A与xAz平面垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D，P(0,0,2)，E.15在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，3)试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|MB|.因为M在y轴上，所以可设M(0，y,0)由|MA|MB|，得 ，显然，此式对任意yR恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使MAB为等边三角形由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|MB|，所以只要|MA|AB|就可以使得MAB是等边三角形因为|MA|，|AB|，所以，解得y，故y轴上存在点M使MAB是等边三角形，点M的坐标为(0，0)或(0，0)
