1、2.2.2反证法课时过关能力提升基础巩固1下列命题不适合用反证法证明的是()A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B.两个不相等的角不是对顶角C.平行四边形的对角线互相平分D.已知x,yR,且x+y2,求证:x,y中至少有一个大于1答案C2当用反证法证明命题“设a,b为实数,则关于x的方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析“至少有一个”的否定为“没有”.答案A3设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,
2、b,c中至少有一个数不小于()A.0B.13C.12D.1答案B4已知数列an,bn的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数),且ab,则两个数列中序号与数值均相同的项有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个解析假设存在序号和数值均相等的项,即存在n,使得an=bn,则an+2=bn+1,即an+1=bn,则bnan,即ba,这与已知ab矛盾.故不存在n,使得an=bn,应选A.答案A5有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”.四位歌手的话只有两名是对的
3、,则获奖的歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案C6当用反证法证明:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为()A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都是奇数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数解析自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数”.答案D7已知平面平面=直线a,直线b,直线c,ba=A,ca,求证:b与c是异面直线.若利用反证法证明,则应假设.解析空间中两直线的位置关系有3种:异面、平行、
4、相交,应假设b与c平行或相交.答案b与c平行或相交8用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:A+B+C=90+90+C180,这与三角形的内角和为180矛盾,故假设错误;所以一个三角形不能有两个直角;假设ABC中有两个直角,不妨设A=B=90.上述步骤的正确顺序为.解析根据反证法证题的三个步骤:否定结论、导出矛盾、得出结论,知正确的顺序应为.答案9在ABC中,若AB=AC,P是ABC内的一点,APBAPC,求证:BAPCAP.用反证法证明时应分:假设和两类.解析反证法对结论的否定是全面否定,BAPCAP.答案BAP=CAPBAPCAP10已知x,y0,且x+y2.求证:1+xy,1
5、+yx中至少有一个小于2.分析解答本题的关键是用反证法证明时,不要忽略x0,y0.证明假设1+xy,1+yx都不小于2,即1+xy2,1+yx2.x0,y0,1+x2y,1+y2x.2+x+y2(x+y),即x+y2,这与已知x+y2矛盾.1+xy,1+yx中至少有一个小于2.能力提升1已知a,b是异面直线,如果直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析假设cb,而由ca,可得ab,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线,应选C.答案C2设x,y,z都是正实数,a=x+1y,b=y+1z,c=z+1x,则
6、a,b,c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2解析若a,b,c都小于2,则a+b+c0”是“P,Q,R同时大于零”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析必要性显然.充分性:若PQR0,则P,Q,R同时大于零或其中有两个负数一个正数,不妨假设P0,Q0.P0,Q0,a+bc,b+ca,a+b+b+cc+a,b0,这与a,b,c是正数矛盾.故P,Q,R同时大于零.答案C4对于定义在实数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个“好点”.已知函数f(x)=x2+2ax
7、+1不存在“好点”,则a的取值范围是. 解析假设f(x)=x2+2ax+1存在“好点”,亦即方程f(x)=x有实数根,所以x2+(2a-1)x+1=0有实数根,则=(2a-1)2-4=4a2-4a-30,解得a-12或a32,故当f(x)不存在“好点”时,a的取值范围是-12a14,(1-b)c14,(1-c)a14,三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c164.又(1-a)a1-a+a22=14.同理(1-b)b14,(1-c)c14.以上三式相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c164,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c164矛盾,故假设不成立,即结论得证.8设an,bn是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列cn不是等比数列.分析假设数列cn是等比数列,利用an,bn是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.证明假设数列cn是等比数列,则(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).an,bn是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,an2=an-1an+1,bn2=bn-1bn+1.代入并整理,得2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbnpq+qp,即2=pq+qp.当p,q异号时,pq+qp2,与相矛盾.故数列cn不是等比数列.
