1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时过关能力提升基础巩固1.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c等于()A.(-15,12)B.0C.-3D.-11解析:a+2b=(-5,6),(a+2b)c=-53+62=-3.答案:C2.在ABC中,A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则ABC是 ()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析:BA=(4,-2),BC=(1,2),则BABC=4+(-2)2=0.BABC.ABC=90.答案:B3.已知A,B,C是钝角三角形ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-co
2、s B),则p与q的夹角是()A.锐角B.钝角C.直角D.不确定答案:D4.已知a=(1,-2),b=(3,4),则a在b方向上的投影是 ()A.1B.-1C.5D.-5解析:设a与b的夹角为,则a在b方向上的投影是|a|cos =|a|b|cos|b|=ab|b|=13+4(-2)9+16=-1.答案:B5.已知O为坐标原点,OA=(-2,1),OB=(0,2),且ACOB,BCAB,则点C的坐标是()A.(2,6)B.(-2,-6)C.(2,-6)D.(-2,6)解析:设C(x,y),则AC=(x+2,y-1),BC=(x,y-2),AB=(2,1).ACOB,2(x+2)=0.BCAB,
3、2x+y-2=0.由可得x=-2,y=6,C(-2,6).答案:D6.已知向量a=(1,2),ab=5,|a-b|=25,则|b|等于 ()A.5B.25C.5D.25解析:|a-b|=25,(a-b)2=20.a2-2ab+b2=20.5-25+|b|2=20.|b|=5.答案:C7.已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b的夹角为.解析:a=(1,1),2a+b=(4,2),b=(4,2)-2a=(4,2)-(2,2)=(2,0),|a|=2,|b|=2,ab=2.a与b夹角的余弦值为222=22,a与b的夹角为4.答案:48.若向量a=(2x-1,x+3),b=(x,2
4、x+1),c=(1,2),且(a-b)c,则实数x的值为.解析:a-b=(x-1,2-x).因为(a-b)c,则(a-b)c=0,所以(x-1)+2(2-x)=0,解得x=3.答案:39.如图,已知OA=(3,1),OB=(-1,2),OCOB,BCOA,求OC的坐标.解:设OC=(x,y),则BC=OC-OB=(x+1,y-2).OCOB,-x+2y=0.BCOA,x+1-3(y-2)=0,即x-3y+7=0.联立解得x=14,y=7.故OC=(14,7).能力提升1.已知向量i=(1,0),j=(0,1),则与2i+j垂直的向量是 ()A.i-2jB.2i-jC.2i+jD.i+2j解析:
5、2i+j=(2,1),选项A中,i-2j=(1,-2),则(2i+j)(i-2j)=21+1(-2)=0,则选项A符合;选项B中,2i-j=(2,-1),则(2i+j)(2i-j)=22+1(-1)=30,则选项B不符合,同理可得选项C、选项D均不符合.答案:A2.已知向量a=(1,1),b=(m,2),若b在a方向上的投影为23,则实数m的值为()A.6-1B.6-2C.26-2D.26-1解析:根据题意,向量a=(1,1),b=(m,2),则ab=m+2,|a|=2.若b在a方向上的投影为23,则ab|a|=m+22=23,解得m=26-2.答案:C3.已知|a|=2|b|0,且关于x的方
6、程x2+|a|x+ab=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.0,6B.3,C.3,23D.6,解析:由题意知=|a|2-4ab0ab14|a|2,则cos =ab|a|b|14|a|212|a|212,3,.答案:B4.设a=(1,2),b=(1,m),若a与b的夹角为钝角,则m的取值范围是.解析:a与b的夹角为钝角,则cos 0且cos -1,1+2m0,1+2m51+m2-1,解得m-12.答案:-,-125.在平行四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-3,2),则ADAC=.解析:设AC与BD交于点O,则AD=OD+AO=12BD+12AC=12(-3,2)+12(1,2
7、)=(-1,2).ADAC=(-1,2)(1,2)=-11+22=3.答案:36.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为.解析:ACBD=-41+22=0,ACBD.S四边形ABCD=12|AC|BD|=1212+22(-4)2+22=5.答案:57.平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.当QAQB取最小值时,求OQ的坐标.解:点Q在直线OP上,OQOP.又OP=(2,1),设OQ=xOP,则OQ=(2x,x).QA=OA-OQ=(1-2x,7-x),QB=OB-OQ=(5-2x,1-x),QAQB=
8、(1-2x)(5-2x)+(7-x)(1-x)=5x2-20x+12=5(x-2)2-8.x=2时,QAQB取最小值-8,此时OQ=(4,2).8.已知AB=(6,1),BC=(4,k),CD=(2,1).(1)若A,C,D三点共线,求k的值;(2)在(1)的条件下,求向量BC与CD的夹角的余弦值.解:(1)AC=AB+BC=(10,k+1),又A,C,D三点共线,ACCD.101-2(k+1)=0,解得k=4.(2)设向量BC与CD的夹角为,由(1)得BC=(4,4),则BCCD=24+14=12.又|BC|=42+42=42,|CD|=22+12=5,则cos =BCCD|BC|CD|=12425=31010,即向量BC与CD的夹角的余弦值为31010.
