1、浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷 2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分1设全集，集合，则 2. 某次考试，名同学的成绩分别为：，则这组数据的中位数为 3. 若函数，则 4. 若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则 5.若两个球的表面积之比为则这两个球的体积之比为 6.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则直线与圆的位置关系是 7. 若二项式展开式的第项的值为，则 8. 已知双曲线的渐近线方程为，且右
2、焦点与抛物线的焦点重合，则这个双曲线的方程是_.9. 从个男生、个女生中任选个人当发言人，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同如果的概率和的概率相等，则 10. 已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为 11. 如图，在中，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 . 12.已知数列满足，对任何正整数均有，设，则数列的前项之和为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13若、满足 ， 则目标函数的最大值为( )A B C D. 14. 如图，正
3、方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线( )A 有一条 B 有二条 C 有无数条 D. 不存在 15. 已知函数.给出下列结论：是周期函数； 函数图像的对称中心； 若，则； 不等式的解集为.则正确结论的序号是 ( ) A B C D. 16. 设集合，设集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为( )A B C D. 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆
4、柱的一部分，它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的（1）求此几何体的体积；（2）设是弧上的一点，且，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正方向重合，终边与单位圆分别交于、两点，若、两点的横坐标分别为（1）求的大小；（2） 在中，为三个内角对应的边长，若已知角，且，求的值 19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包
5、括万元和万元）的小微企业做统一方案方案要求同时具备下列两个条件：补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；补助款不低于原纳税额（万元）的经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件、的参数的取值范围20（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，的斜率依次成
6、等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： 等差数列：； 等比数列：；（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则 2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格
7、填对得4分或5分，否则一律得零分1设全集，集合，则 2. 某次考试，名同学的成绩分别为：，则这组数据的中位数为 3. 若函数，则 4. 若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则 5.若两个球的表面积之比为则这两个球的体积之比为 6.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则直线与圆的位置关系是 相交 7. 若二项式展开式的第项的值为，则 8. 已知双曲线的渐近线方程为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则这个双曲线的方程是_.9. 从个男生、个女生中任选个人当发言人，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同如果的概率和的概率相等，则 10. 已知函数的零点有且只
8、有一个，则实数的取值集合为 1 11. 如图，在中，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 . 12.已知数列满足，对任何正整数均有，设，则数列的前项之和为 .【解】，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13若、满足 ， 则目标函数的最大值为( )A B C D. 14. 如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线( )A 有一条 B 有二条 C 有无数条 D. 不存在 16. 已知函数.给出下列结论：是周期函数； 函数图像的对称中心； 若，则； 不
9、等式的解集为.则正确结论的序号是 ( ) A B C D. 16. 设集合，设集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为( )A B C D. 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的（1）求此几何体的体积；（2）设是弧上的一点，且，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解答】（
10、1）因为（4分）所以，（7分）（2）如图所示，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系则，所以，.（11分）设异面直线与所成的角为，则.（13分）所以，异面直线与所成角为.（14分）18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正方向重合，终边与单位圆分别交于、两点，若、两点的横坐标分别为（1）求的大小；（2） 在中，为三个内角对应的边长，若已知角，且，求的值【解答】（1）由已知 (2分)因而 （6分）（2）法一：（正弦定理）由已知， .(7分) (10分) (14分)法二：（余弦定理），因而由已知得法三：（余弦定理、正弦定理）因而
11、由余弦定理得： 同理 得得 法四：（射影定理）可得，下同解法二19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案方案要求同时具备下列两个条件：补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；补助款不低于原纳税额（万元）的经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件、的参数的取值范围【解答】（1）法一：因为当时，所以当时不满足条件（6分） 法二：由条件可知因为，所以当
12、时不满足条件（6分）法三：由条件可知在上恒成立，所以，解得，所以当时不满足条件（6分）(注：如果证明了当时满足条件得2分)（2）法一：由条件可知，在上单调递增，则对任意时，有恒成立，即恒成立，所以；（10分）由条件可知，即不等式在上恒成立，所以 （13分）综上，参数的取值范围是（14分）法二：由条件可知，在上单调递增，所以当时，满足条件；当时，得，所以 （10分）由条件可知，即不等式在上恒成立，所以，得 （13分）综上，参数的取值范围是（14分）20（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交
13、于不同的两点、，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.【解答】（1）由可得，从而，椭圆方程为. (4分)（2）由于四边形是菱形，因此且. 由对称性，在线段上. 因此，分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即. (6分)设，与椭圆方程联立可得，设,因此，. (8分)由，可得，解得，即直线方程为. (10分)（3） 设，由，可得，即.化简可得，即.若，则经过，不符，因此. (12分)联立直线与椭圆方程，.因为 由，可得， (14分)将
14、代入，；再由，可得，. (16分)21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： 等差数列：； 等比数列：；（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.【解答】（1） 等差数列：不是跳跃数列； (2分) 等比数列：是跳跃数列. (4分)（2）必要性：若，则是单调递增数列，不是跳跃数列；若，是常数列，不是跳跃数列. (6分)充分性：下面用数学归纳法证明：若，则对任何正整数，均有成立.（1）当时， ， (8分)，所以命题成立 (9分)（2）若时，则，所以当时命题也成立 (10分)根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足，故是跳跃数列.（3）， (11分)， (12分) 1若，则，此时； (14分) 2若，则，此时； (16分)若，则，所以.若，则，所以.所以，此时对任何正整数，均有 (18分)
