1、试卷第 1页，总 4页2022 届高三年级武汉市部分重点中学八月联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集1,2,3,4U，集合1,2A，2,4B，则 （）A 1B1,3C1,2,3D1,2,3,42若复数 z 满足12zii
2、，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在第（）象限A一B二C三D四3若一圆台的上底面半径为 1，且上下底面半径和高的比为1:2:3，则圆台的体积为（）A 7 33B7 3C 7 33D7 34声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sinyAt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数 cos3 sinf xxx，则下列结论正确的是（）A fx 是奇函数B fx 的最小正周期为 2C fx 在区间0,2 上单调递增D fx 的最小值为 15已知 F 是抛物线2:8C yx的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，
3、则 FN （）A4B6C8D106已知02，且4sin5，2cos()10，则 =（）A 3B 23C 4D 347在31()2nxx的展开式中，只有第 7 项的二项式系数最大，则展开式常数项是（）A552B 552C 28D28试卷第 2页，总 4页8关于函数 sinxf xex，,x .下列说法错误的是（）A f x 在 0,0f处的切线方程为 210 xy B f x 有两个零点C f x 存在唯一极小值点0 x，且010f x D.f x 有两个极值点二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得
4、2 分，有选错的得 0 分。9下列说法：对于回归分析，相关系数 r 的绝对值越小，说明拟合效果越好；以模型kxyc e 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy，将其变换后得到线性方程0.34zx，则c，k 的值分别是4e 和0.3；已知随机变量20,XN，若 2PXa，则2P X 的值为12a通过回归直线ybxa及回归系数 b，可以精确反映变量的取值和变化趋势其中正确的选项是（）ABCD10下列说法中正确的是（）A已知 a=(1,2)，b=(1,1)，且 a 与 ab 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是5,3B向量12,3e，213,24e不能作为平面内所有向量的一组基底C非零向量 a
5、，b，满足 ab且 a 与b 同向，则 abD非零向量 a 和b，满足 abab，则 a 与ab 的夹角为3011已知圆锥曲线221:1(0)Cmxnynm与222:1(0,0)Cpxqypq的公共焦点为1F，2F 点 M 为1C，2C 的一个公共点，且满足1290F MF，若圆锥曲线1C 的离心率为 34，则下列说法错误的是（）A2C 的离心率为 92B2C 的离心率为 3 22C2C 的渐近线方程为142yx D2C 的渐近线方程为3 22yx 12在正方体1111ABCDA B C D中，点 M 在线段1B C 上运动，则下列说法正确的是（）A直线1BD 平面1AB CB，直线1C M
6、与平面11AC D所成角的正弦值的最大值为63C异面直线 AM 与1A D 所成角的取值范围是,4 2 D三棱锥11MAC D的体积为定值试卷第 3页，总 4页三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知函数()f x 的导函数为()fx，且()2(ln 2)xf xfxe（其中 e 为自然对数的底数），则(ln 2)f _14已知()f x 是定义域为(,)的奇函数，(1)f x 是偶函数，且当(0 x，1时，()(2)f xx x，则(2021)(2022)ff_.15设点 P 是椭圆24+2=1 的短轴的一个上端点，Q 是椭圆上的任意一个动点，则 PQ|长的最大值是
7、.16把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列 na，则(1)33=；(2)若=2011，则 n=.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本题 10 分)在12nnaa，39S；221naSn；nSn三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.已知数列 na的前 n 项和为nS，满足_.（1）求数列 na的通项公式；（2）数列 nb满足1212nannbb，求数列 nb的前 10 项和.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计
8、分.18(本题 12 分)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中 3 个项目的比赛已知该运动员在这 3 个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是 23，那么在本次运动会上：（1）求该运动员至少能打破 2 项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为 X，求 X 的分布列及期望试卷第 4页，总 4页19(本题 12 分)在ABC中，角,A B C 所对应的边分别为,a b c，5b，3A 时，（1）若7a，求c；（2）记 cka（i）当 k 为何值时，ABC是直角三角形.（ii）当 k 为何值时，使得ABC有解.（写出满足条件的所有 k 的值）20(本题 12 分)如
9、图，/ADBC 且2,/ADBC ADCD EGAD且,/EGAD CDFG且2,CDFG DG 平面,2ABCD DADCDG（1）若 M 为CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：/MN平面CDE；（2）求二面角 EBCF的正弦值.21(本题 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，圆22:(2)12Axy，(2,0)B，过 B 的直线l 与圆A 交于,C D 两点，过 B 作直线 BE 平行 AC 交 AD 于点 E.（1）求点 E 的轨迹方程；（2）若不过坐标原点的直线 1l 与曲线 E 相交于 M、N 两点，点33,22P，且满足+=，求MON面积最大时直线 1l 的方程.22(本
10、题 12 分)已知函数2()ln(1)2af xxxax.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1212,0 x xxx是函数()()g xf xx的两个极值点，证明：12ln2ag xg xa恒成立.答案第 1页，总 4页2022 届高三年级武汉市部分重点中学八月联考数学参考答案一、选择题：题号12345678答案CDCDBDAD二、选择题：题号9101112答案BCBDADABD三、填空题：13.-214.115.33416.581028四、解答题：17.解：（1）选12nnaa，39S；12nnaa，知数列 na是公差2d 的等差数列，则311133 23692Sada ，得11a
11、 ，所以数列 na的通项公式为1(1)21naandn.选221naSn；221naSn，知1212213aSaa ，得23a，2212221225aSaa ，得11a ，即2124Saa，所以数列 na的通项公式为22121naSnn .选nSn；nSn，得2nSn，则11,1,2.nnnS naSSn，所以1,1,21,2.nnann 因为112 1 1a ，所以数列 na的通项公式为21nan.（2）因为21nan，所以112122nannnbb，则121bb，2342bb，4562bb，6782bb，89102bb，数列 nb的前 10 项和为：246810123456789101 2
12、222341Tbbbbbbbbbb.18（1）2027；（2）分布列见解析，2.解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同设其打破世界纪录的项目数为随机变量，“该运动员至少能打破 3 项世界纪录”为事件 A，则有 23P APP22333321220()()33327CC。答案第 2页，总 4页（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为 X，由（1）解答可知，23 3XB，则30321(0)1327P XC,213222(1)1339P XC,123224(2)1339P XC ,33328(3)327P XC，所以 X 的分布列为X0123P
13、1272949827所以期望124801232279927E X 19（1）8c；（2）；（i）33k 或 2 33；（ii）2 30,3（1）在ABC中，由余弦定理可得：2222cosabcbcA，即25240cc，所以830cc，解得：8c 或3c （舍）（2）（i）若2B，则 tantan 603aAc，所以1333cka，若2C，则3sinsin 602aAc，所以12 3332cka，所以33k 或 2 33时，ABC为直角三角形，（ii）由正弦定理可得记sinsin2 3 sinsin332cCCkCaA，因为203C，所以0sin1C，所以2 32 3sin0,33kC，所以当2
14、 30,3k时，使得ABC有解，20（1）见解析；（2）1010；（1）证明：依题意，以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC、DG 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系可得(0D，0，0)，(2A，0，0)，(1B，2，0)，(0C，2，0)，(2E，0，2)，(0F，1，2)，(0G，0，2)，(0M，32，1)，(1N，0，2)设0000(,)nxy z为平面CDE 的法向量，则0000020220n DCyn DExz ，不妨令01z ，可得0(1,0,1)n；又3(1,1)2MN，可得00MN n 所以0MNn，又直线 MN 平面CDE，答案第 3页，总 4页/M
15、N平面CDE；（2）解：依题意，可得(1,0,0)BC ，(1,2,2)BE，(0,1,2)CF 设111(,)nx y z为平面 BCE 的法向量，则11110220n BCxn BExyz，不妨令11z ，可得(0,1,1)n 设222(,)mxy z为平面 BCF 的法向量，则222020m BCxm CFyz ，不妨令21z ，可得(0,2,1)m 因此有3 10cos,|10m nm nmn ，于是10sin,10m n 二面角 EBCF的正弦值为1010；21（1）2213xy(3x )；（2）1633yx.（1）由,=2 3BEDEADAEDEAEBE则，于是点 E 的轨迹是以,
16、A B 为焦点长轴为 2 3 的椭圆，设轨迹方程为22221xyab，其中 22 3,22 2ac，轨迹方程为2213xy，由于直线l 不能与 x 轴重合，所以3x ，则轨迹为：2213xy(3x ).(2)由题意可知，直线 1l 的斜率显然存在，设直线 1l 的方程为0ykxm m，11,M x y，22,N xy，由2213xyykxm得222316330kxkmxm，222222364 313312 310k mkmkm ，所以12221226313331kmxxkmx xk，所以121222231myyk xxmk，因为OMONOP，所以1221226331223312kmxxkmyy
17、k，所以13k ，代入得2 32 333m且0m，由于直线 1l 不能经过点3 03，所以33m ,所以212121211422MONSm xxmxxx x222212 3134312314kmmmmk。答案第 4页，总 4页22223 3433 34334422mmmm，当且仅当22343mm，即63m 时上式取等号，此时符合题意，所以直线 1l 的方程为1633yx.22（1）()f x 的定义域为(0,)，1(1)(1)()(1)xaxfxaxaxx.当0a 时，令()0fx，得01x，令()0fx，得1x ，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减；当01a 时，令
18、()0fx，得 01x 或1xa，令()0fx，得11xa，所以()f x 在1(0,1),a 上单调增，在11,a 上单调减；当1a 时，则()0fx，所以在(0,)上()f x 单调递增；当1a 时，令()0fx，得10 xa或1x ，令()0fx，得 11xa ，所以()f x 在10,(1,)a上单调递增，在 1,1a 上单调递减；综上，当0a 时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减；当01a 时，()f x 在1(0,1),a 上单调递增，在11,a 上单调遂减；当1a 时，()f x 在(0,)上单调递增；当1a 时，()f x 在10,(1,)a上单调递增，
19、在 1,1a上单调递减.（2）2()()ln2ag xf xxxxax，则()g x 的定义域为211(0,),()axaxg xaxaxx，若()g x 有两个极值点1212,0 x xxx，则方程210axax 的判别式240aa，且121211,0 xxx xa，所以4a ，因为120 xx，所以21121xx xa，得110 xa，所以 2212111222111lnlnlnln222aaag xg xxxaxxxaxxaxax，设()lnln()2ah ttatat，其中110,txa，令2()0h tat 得2ta，又 2120aaaa，所以()h t 在区间20,a内单调递增，在区间 21,aa 内单调递减，即()h t 的最大值为22ln2ln22ahaa，而 2ln 22022ln2 ln2ln22aahaaa，从而12ln2ag xg xa恒成立.
