1、高二数学第 1页（共 4页）20212022 学年度第一学期期中考试高二数学试题考试时间 120 分钟，总分 150 分一、单选题：本大共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1一束光线从(1,0)A点处射到 y 轴上一点(0,2)B后被 y 轴反射，则反射光线所在直线的方程是()A220 xyB 220 xyC220 xyD 220 xy2已知直线(2)210axay 与直线320axy垂直，则实数 a 的值是()A0B43C0 或43D12或 233两圆922 yx和096822yxyx的公切线的条数为（）A1 条B2 条C3 条D4
2、条4已知两条直线 l1：（a1）x+2y+10，l2：x+ay+30 平行，则 a（）A1B2C0 或2D1 或 25若实数 k 满足90 k，则曲线192522kyx与曲线192522xky的（）A焦距相等B实轴长相等C虚轴长相等D离心率相等6在同一坐标系中，方程 a2x2+b2y21 与 ax+by20（ab0）的曲线大致是（）ABCD7、唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为223xy，若
3、将军从点 4,0A处出发，河岸线所在直线方程为5xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A 173B263C26D 43高二数学第 2页（共 4页）8已知 FAB，点 F 的坐标为)0,1(，点BA,分别在右图中抛物线xy42 及圆4)1(22yx的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，那么 FAB的周长的取值范围是（）A)6,2(B)4,2(C)6,4(D)8,6(二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，选对但不全得 3 分，有选错的得 0 分。9.关于直线
4、0:31lxy，下列说法正确的有（）A过点(3，2)B斜率为3C倾斜角为 60D在 y 轴上的截距为 110实数,x y，满足22+20 xyx，则下列关于1yx 的判断正确的是（）A1yx 的最大值为33B1yx 的最小值为3C1yx 的最大值为3D1yx 的最小值为3311已知双曲线 E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为5，则双曲线 E 的渐近线方程为()A22yx B2yx C12yx D2yx 12.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅。已知点10M，
5、直线 l：2x ，若某直线上存在点 P，使得点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小 1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A点 P 的轨迹曲线是一条线段B1x 不是“最远距离直线”C26yx不是“最远距离直线”D112yx是“最远距离直线”三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13直线:sin103l xy 的斜率为14已知点 A（0，2），点 B 是直线 x+y0 上的动点，则|AB|的最小值是高二数学第 3页（共 4页）15“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面 100 千米，椭圆形
6、轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面 16 千米，则椭圆形轨道的焦距为千米16已知圆 O 的圆心为坐标原点，且与直线4 20 xy相切，则圆 O 的方程为若点 P 在直线 x8 上，过点 P 引圆 O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，如图所示，则直线 AB恒过定点四、解答题本大共 6 小题，共 70 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）直线l 经过两直线042 yx与05 yx的交点，且与直线 1l：06 yx平行.（1）求直线l 的方程；（2）若点)1,(aP到直线l 的距离与直线 1l 到直
7、线l 的距离相等，求实数 a 的值.18（本小题满分 12 分）（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为 6，焦距为 4 的椭圆标准方程；（2）求与双曲线22916xy-1 有共同的渐近线，且过点(3，23)的双曲线标准方程19（本小题满分 12 分）已知 ABC的三顶点坐标分别为：)0,21(),7,0(),3,0(CBA.（1）求 ABC的外接圆 的标准方程；（2）已知过)3,2(P的直线l 被 ABC的外接圆 截得的弦长为212，求直线l 的一般式方程.高二数学第 4页（共 4页）20（本小题满分 12 分）已知双曲线C：12222 byax（0,0ba）的离心率为 5，虚轴长为 4（1）求双曲
8、线的标准方程；（2）过点-1,0，倾斜角为045 的直线l 与双曲线C 相交于,A B两点，O 为坐标原点，求 OAB的面积21（本小题满分 12 分）在离心率12e，椭圆 C 过点3(1,)2，P 为椭圆上一点，12PF F 面积的最大值为3，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，已知椭圆 C 的短轴长为 2 3，_（1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点(0,4)的直线 l 与椭圆 C 交于,A B 两点，且坐标原点O 在以 AB 为直径的圆上，求直线 l 的斜率22.（本小题满分 12 分）已知
9、抛物线2:20C xpy p过点2,1，直线l 过点 0,1P与抛物线C 交于 A，B 两点.点A 关于 y 轴的对称点为 A，连接 A B.（1）求抛物线线C 的标准方程；（2）问直线 A B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.高二数学第 1页（共 9页）20212022 学年度第一学期期中考试高二数学试题答案及解析一、单选题：本大共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1一束光线从(1,0)A点处射到 y 轴上一点(0,2)B后被 y 轴反射，则反射光线所在直线的方程是()A220 xyB 220 xyC220 xyD
10、220 xy1.解：由反射定律可得点(1,0)A关于 y 轴的对称点(1,0)A 在反射光线所在的直线上，再根据点(0,2)B也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为112xy，即 220 xy，【答案】：B 2已知直线(2)210axay 与直线320axy垂直，则实数 a 的值是()A0B43C0 或43D12或 232.解：因为直线(2)210axay 与直线 320axy垂直，则(2)32(1)0aaa，解得：403aa 或【答案】：C 3两圆922 yx和096822yxyx的公切线的条数为（）A1 条B2 条C3 条D4 条3.解：两圆圆心距为 5，两圆相交，
11、有公切线 2 条。【答案】：B4已知两条直线 l1：（a1）x+2y+10，l2：x+ay+30 平行，则 a（）A1B2C0 或2D1 或 24.解：因为直线 l1：（a1）x+2y+10 的斜率存在，又l1l2，a1 或 a2，两条直线在 y 轴是的截距不相等，所以 a1 或 a2 满足两条直线平行【答案】：D高二数学第 2页（共 9页）5若实数 k 满足90 k，则曲线192522kyx与曲线192522xky的（）A焦距相等B实轴长相等C虚轴长相等D离心率相等【答案】：A6在同一坐标系中，方程 a2x2+b2y21 与 ax+by20（ab0）的曲线大致是（）ABCD6.解：由 ab0
12、，椭圆 a2x2+b2y21，即+1，焦点在 y 轴上；抛物线 ax+by20，即 y2x，焦点在 x 轴的负半轴上；分析可得，D 符合，【答案】：D7、唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为223xy，若将军从点4,0A处出发，河岸线所在直线方程为5xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A 173B263C26D43【答案】：B.8已知 FAB，点 F
13、 的坐标为)0,1(，点BA,分别在图中抛物线xy42 及圆4)1(22yx的实线部分上运动，且 AB 总是平行于x 轴，那么 FAB的周长的取值范围是（）A)6,2(B)4,2(C)6,4(D)8,6(【答案】：C二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，选对但不全得 3 分，有选错的得 0 分。9.关于直线0:31lxy，下列说法正确的有（）高二数学第 3页（共 9页）A过点(3，2)B斜率为3C倾斜角为 60D在 y 轴上的截距为 1【答案】BC10实数,x y，满足22+20 xyx，则下列关于1yx
14、 的判断正确的是（）A1yx 的最大值为33B1yx 的最小值为3C1yx 的最大值为3D1yx 的最小值为33【答案】AD10.解：由题意可得方程22+20 xyx 为圆心是10C ，半径为 1 的圆，则1yx 为圆上的点与定点()10P，的斜率的值，设过()10P，点的直线为+1yk x，即+0kxy k，则圆心到到直线+0kxy k的距离 dr，即2211kk，整理可得231k ，解得33k ，所以33133yx，即1yx 的最大值为33，最小值为33.故选：AD.11已知双曲线 E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为5，则双曲线 E 的渐近线方程为()A22yx B2yx C12y
15、x D2yx【答案】CD11.解：如焦点在 x 轴上，离心率为5，可得225ca，224ba，则2ba，所以双曲线的渐近线方程2yx，如焦点在 y 轴上，离心率为5，可得225ca，224ba，则2ba，所以双曲线的渐近线方程12yx，故选：CD 12.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无高二数学第 4页（共 9页）处寻觅。已知点10M，直线 l：2x ，若某直线上存在点 P，使得点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小 1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论
16、正确的是（）A点 P 的轨迹曲线是一条线段B1x 不是“最远距离直线”C26yx不是“最远距离直线”D112yx是“最远距离直线”【答案】BCD12.解：由题意可得，点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小 1，即等价于“点 P 到点 M 的距离等于到直线 l：1x 的距离”故 P 点轨迹是以10M，为焦点，直线 l：1x 为准线的抛物线，其方程是24yx，故 A 错误;点 P 的轨迹方程是抛物线24yx，它与直线 l 没交点，1x 不是“最远距离直线”，故 B 正确;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线24yx有交点，把26yx代入抛物线24yx，消去 y 并整理得2590 x
17、x因为254 1 9110 ，无解，所以26yx不是“最远距离直线”，故 C 正确；把112yx代入抛物线24yx，消去 y 并整理得21240 xx，因为2124 1 41280 ，有解，所以112yx是“最远距离直线”，故 D 正确故选：BCD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13直线:sin103l xy 的斜率为13.解：由直线:sin103l xy，得3102xy，即 2320 xy则该直线的斜率22 333k 【答案】：2 3314已知点 A（0，2），点 B 是直线 x+y0 上的动点，则|AB|的最小值是14.解：线段 AB 最短时，AB 与直线 x
18、+y0 垂直，则222211d【答案】：2 高二数学第 5页（共 9页）15“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面 100 千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面 16 千米，则椭圆形轨道的焦距为千米15.解：设椭圆长轴长为 2a，焦距为 2c，月球半径为 R，则10016acRacR，两式作差，可得 284c 椭圆形轨道的焦距为 84 千米【答案】：8416 已 知 圆 O 的 圆 心 为 坐 标 原 点，且 与 直 线4 20 xy相 切，则 圆 O 的 方 程为若点 P
19、在直线 x8 上，过点 P 引圆 O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，如图所示，则直线 AB 恒过定点16.解：原点 O 到直线 x+y+40 的距离 d，即所求的圆的半径 r4，则圆 O 的方程为 x2+y216；根据题意，设 P（8，t），则|PA|2|OP|2|OA|2t2+48，则圆 P 的方程为（x8）2+（yt）2t2+48，直线 AB 为圆 C 与圆 P 的公共弦所在的直线，联立，可得 8x+ty160，变形可得：ty8（x2），则直线 AB 过定点（2，0）【答案】：x2+y216；（2，0）四、解答题本大共 6 小题，共 70 分。解答题应写出文字说明，证明过程或
20、演算步骤。高二数学第 6页（共 9页）17（本小题满分 10 分）直线l 经过两直线042 yx与05 yx的交点，且与直线 1l：06 yx平行.（1）求直线l 的方程；（2）若点)1,(aP到直线l 的距离与直线 1l 到直线l 的距离相等，求实数 a 的值.17解：（1）05042yxyx解得61yx，即交点坐标为)6,1(.直线 1l：06 yx的斜率为11k，直线l 的斜率为1k直线l 的方程为)1(6xy，即07 yx.5 分（2）由题知222211|)6(7|11|71|a，整理得1|6|a，解得7a或5a.10 分18（本小题满分 12 分）（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为 6
21、，焦距为 4 的椭圆标准方程；（2）求与双曲线22916xy-1 有共同的渐近线，且过点(3，23)的双曲线标准方程18.解：（1）由长轴长知：26a 3a由焦距知：24c 22292cabb，解得：25b 椭圆标准方程为：22195xy或15922 xy6 分（2）设双曲线方程为 16922yx）（0,又过点为）（32,3-，解得41双曲线标准方程为：144922 yx12 分19（本小题满分 12 分）已知 ABC的三顶点坐标分别为：)0,21(),7,0(),3,0(CBA.（1）求 ABC的外接圆 的标准方程；高二数学第 7页（共 9页）（2）已知过)3,2(P的直线l 被 ABC的外
22、接圆 截得的弦长为212，求直线l 的一般式方程.19、解：（1）设 ABC外接圆 的方程：022FEyDxyx则有021210749039FDFEFE，解之得2140FED，则外接圆 的方程：021422yyx，即25)2(22 yx.6 分（2）由（1）及题意知圆心到直线l 的距离2)21(522d当直线l 的斜率不存在时，2x符合题意当直线l 的斜率存在时设直线l：)2(3xky即032kykx21|322|2kkd解之得43k，)2(433xy，即01843yx综上，直线l 的一般式方程为2x或01843yx.12 分20（本小题满分 12 分）已知双曲线C：12222 byax（0,
23、0ba）的离心率为 5，虚轴长为 4（1）求双曲线的标准方程；（2）过点-1,0，倾斜角为045 的直线 l 与双曲线 C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB的面积【解析】(1)依题意可得222524cabcab，解得1,2,5abc，双曲线的标准方程为2214yx 5 分(2)方法 1：直线l 的方程为1yx，设11,A x y、22,B xy，由221,44,yxxy可高二数学第 8页（共 9页）得23250 xx，由韦达定理可得1223xx，1253x x ，则2212124208 2142.933ABkxxx x原点到直线l 的距离为22d，于是118 22422323OA
24、BSAB d，OAB 的面积为 43.12 分方法 2：直线 l 的方程为1yx，设11,A x y、22,B xy，由221,44,yxxy可得23250 xx，解得1-1x，253x，-1,0A，5 8,3 3B于是118412233OABBSOAy，OAB 的面积为 43.12 分21（本小题满分 12 分）在离心率12e，椭圆 C 过点3(1,)2，P 为椭圆上一点，12PF F 面积的最大值为3，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，已知椭圆 C 的短轴长为 2 3，_（1）求椭圆 C 的
25、方程；（2）设过点(0,4)的直线 l 与椭圆C 交于,A B 两点，且坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆上，求直线 l 的斜率解：（1）选离心率12e，依题意22222 312bcaabc，解得2,3ab，所以椭圆 C 的方程为22143xy 5 分（2）5 3312 分22.（本小题满分 12 分）高二数学第 9页（共 9页）已知抛物线2:20C xpy p过点2,1，直线l 过点 0,1P与抛物线C 交于 A，B 两点.点 A 关于 y 轴的对称点为 A，连接 A B.（1）求抛物线线C 的标准方程；（2）问直线 A B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.22(1)24xy；(2)答案见解析.解析：(1)将点2,1 代入抛物线2:2C xpy的方程得，2p.所以，抛物线C 的标准方程为24xy.4 分(2)设直线l 的方程为1ykx，又设 11,A x y，22,B xy，则11,Ax y.由21,41,yxykx得2440 xkx.则216160k，124xx，124xxk.所以222121212112444A Bxxyyxxkxxxx.于是直线 A B的方程为2221244xxxyxx所以22122121444xxxxxyxxx.当0 x 时，1y ，所以直线 A B过定点0,1.12 分
