1、2.2.2 椭圆的简单几何性质 优化训练1已知点(2,3)在椭圆1上,则下列说法正确的是()A点(2,3)在椭圆外B点(3,2)在椭圆上C点(2,3)在椭圆内D点(2,3)在椭圆上答案:D2直线yx2与椭圆1有两个公共点,则m的取值范围是()Am1Bm1且m3Cm3 Dm0且m3答案:B3直线ya与椭圆1恒有两个不同的交点,则a的取值范围是_答案:(,)4如图,已知斜率为1的直线l过椭圆1的下焦点,交椭圆于A、B两点,求弦AB之长解:令A、B坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)由椭圆方程知a28,b24,c2,椭圆的下焦点F的坐标为F(0,2),直线l的方程为yx2.将其代入1,化简整
2、理得3x24x40,x1x2,x1x2,|AB| .一、选择题1点A(a,1)在椭圆1的内部,则a的取值范围是()AaBaC2a2 D1a0,可得13mb0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若2,则椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析:选D.如图,由于BFx轴,故xBc,yB.设P(0,t),2,(a,t)2.a2c,.6经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A、B两点设O为坐标原点,则等于()A3 BC或3 D解析:选B.不妨设l过椭圆的右焦点(1,0),则直线l的方程为yx1.由消去y,得3x24x0.设A(x1,y1),B
3、(x2,y2),则x1x2,x1x20,x1x2y1y2x1x2(x11)(x21)2x1x2(x1x2)11.二、填空题7已知以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为_解析:由题意可设椭圆方程1,联立直线与椭圆方程,由0得a.答案:28已知椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角,则|PF1|PF2|_.解析:两焦点的坐标分别为F1(5,0)、F2(5,0),由PF1PF2,得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2100.而|PF1|PF2|14,(|PF1|PF2|)2196.1002|PF1|PF2|196.|PF1|PF
4、2|48.答案:489过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为_解析:椭圆的右焦点为F(1,0),lAB:y2x2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得3x25x0,x0或x,A(0,2),B(,),SAOB|OF|(|yB|yA|)1(2).答案:三、解答题10焦点分别为(0,5)和(0,5)的椭圆截直线y3x2所得椭圆的弦的中点的横坐标为,求此椭圆方程解:设此椭圆的标准方程为1(ab0),且a2b2(5)250由,得(a29b2)x212b2x4b2a2b20.,a23b2,此时0,由得a275,b225,1.11如图,点A是椭圆C:1
5、(ab0)的短轴位于y轴下方的端点,过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B,若P在y轴上,且BPx轴,9.点P的坐标为(0,1),求椭圆C的方程解:直线AB的斜率为1,BAP45,即BAP是等腰直角三角形,|AB|AP|.9,|AB|AP|cos 45|AP|2cos 459,|AP|3.P(0,1),|OP|1,|OA|2,即b2,且B(3,1)B在椭圆上,1,得a212,椭圆C的方程为1.12(2010年高考福建卷)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由解:(1)依题意,可设椭圆C的方程为1(ab0),且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2,所以b212,故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l,设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点,所以(3t)243(t212)0,解得4t4.另一方面,由直线OA与l的距离d4,得4,解得t2.由于24,4,所以符合题意的直线l不存在高考资源网w w 高 考 资源 网