1、空间几何体【考点导读】1观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。【基础练习】1一个凸多面体有8个顶点，如果它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；如果它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。2. 是正的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么的面积
2、为。3.（1）如图，在正四面体ABCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 。 （2）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的 （要求：把可能的图的序号都填上）.4.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 。5.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是。【范例导析】例1（1）下列结论中，正确的是 。（1）各个面都是三角形的几何体是三棱
3、锥（2）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥（4）圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是圆锥的母线（2）下列命题中，假命题是 （1）（3） 。（选出所有可能的答案）（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。（1）（4）是正确的。（1）中可以是把两个三棱
4、锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但不是三棱锥。（2）中要取决于三角形的形状，以及旋转方式，比如等腰直角三角形中以直角边为旋转轴进行旋转就不是圆锥。（3）中若棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形可知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长。（2） （1）和（3）是错误的。（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。点评：对于概念判断的类型，举反例是非常有效的方法。例2是正ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么ABC的面积为_。解析：。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直
5、观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。例3多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是： 3； 4； 5； 6； 7ABCDA1B1C1D1A1以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）解析：如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到
6、平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选。点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。例4（1）画出下列几何体的三视图（2）（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：（2）该几何体为一个正四棱锥。点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现
7、物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。DOCEFBA例5如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心O，且与BC，DC分别交于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是 S1=S2 。解析：连OA、OB、OC、OD，则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，
8、故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。备用题：1。如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。 图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，连结A1M，A1N。易得A1MAB，A1NAD。A1AM=A1
9、AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，从而OM=ON。点O在BAD的平分线上。（2）AM=AA1cos=3= AO=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 - AO2=9=，A1O=，平行六面体的体积为。2如图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称正视图侧视图图1俯视图正视图侧视图图2俯视图变式题1如图2是一个几何体的三视图（单位：cm）（）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；图3（）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线与所成的角为，求解：（）这个几何体的直观图如图3所示（）这个几何体是直三棱柱由于底面的高为1，所以故所求全面积这个几何体的体积（）因
10、为，所以与所成的角是在中，故【反馈演练】1一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是。2如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=。解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加R2r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=R2r。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。3在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120（如图所示），若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是。4如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相
11、等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 。5若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 六棱锥 。6正四棱柱的底面边长为，高为，一蚂蚁从顶点出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为。7空间四边形中，分别是边上的点，且为平行四边形，则四边形的周长的取值范围是_。8设棱长为4的平行六面体的体积为，分别是棱上的点，且，则三棱锥的体积。PABCM9一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形；(5)正六边形。其中正确的结论是_（2）（3）（4）（5）_。（把你认为正
12、确的序号都填上）10三棱锥中，其余棱长均为1。（1）求证：；（2）求三棱锥的体积的最大值。解：（1）取中点，与均为正三角形， 平面。 (2)当平面时，三棱锥的高为，此时11已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积 解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：,即,所以母线和底面所成的角为(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，则OO1/AB且在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x2=2py，点N的坐标为（R，R），代入方程得：R2=2p（R），得： R=2p，l=2R=4p.圆锥的全面积为.说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 12已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。解析：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，。点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
