1、第三节函数的奇偶性与周期性一、教材概念结论性质重现1函数的奇偶性奇偶性定义图象偶函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f (x)f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f (x)f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数关于坐标原点对称1函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件2若f (x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (x)f (x)f (x)f (x)01f (x)为偶函数；(2)f (x)f (x)f (x)f (x)01f (x)为奇函数3函数奇偶性常用
2、结论(1)如果函数f (x)是奇函数且在x0处有定义，那么一定有f (0)0；如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)f (|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性2函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且f (xT)f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数非零常数T就叫做这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期)周期函数定
3、义的实质存在一个非零常数T，使f (xT)f (x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次3函数周期性的常用结论对f (x)定义域内任一自变量x，(1)若f (xa)f (x)，则T2a(a0)(2)若f (xa)，则T2a(a0)(3)若f (xa)，则T2a(a0)4函数图象的对称性(1)若函数yf (xa)是偶函数，即f (ax)f (ax)，则函数yf (x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f (2ax)f (x)或f (x)f (2ax)，则yf (x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf (xb)是奇函数，即f (xb)f (xb)0，则函数
4、yf (x)的图象关于点(b,0)中心对称二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域关于坐标原点对称()(2)若函数f (x)为奇函数，则一定有f (0)0()(3)若函数yf (xa)是偶函数，则函数yf (x)的图象关于直线xa对称()(4)若函数yf (xb)是奇函数，则函数yf (x)的图象关于点(b,0)中心对称()2下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2xB解析：A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数故选B3已知f (x)满足f (x2)f
5、(x)当x0,1时，f (x)2x，则f 等于()A B C D1B解析：由f (x2)f (x)，知函数f (x)的周期T2，所以f f 2.4已知f (x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B C DB解析：因为f (x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，所以a12a0，所以a. 又f (x)f (x)，所以b0，所以ab.5已知定义在R上的函数f (x)满足f (x2)，当x(0,2时，f (x)2x1，则f (9)_.1解析：因为f (x2)，所以f (x4)f (x2)2f (x)，得T4，f (9)f (1)1.考点1函数奇偶性的判断基础性1(多选
6、题)设函数f (x)，则下列结论正确的是()A|f (x)|是偶函数 Bf (x)是奇函数Cf (x)|f (x)|是奇函数 Df (|x|)f (x)是偶函数ABC解析：因为f (x)，所以f (x)f (x)所以f (x)是奇函数，所以|f (x)|是偶函数，f (x)是奇函数因为f (|x|)f (|x|)，所以f (|x|)是偶函数，所以f (|x|)f (x)是奇函数故选ABC2已知函数f (x)则该函数的奇偶性是_奇函数解析：当x0时，x0，所以f (x)x2x(x2x)f (x)；当x0，f (x)x2x(x2x)f (x)，所以f (x)是奇函数判断函数奇偶性的常用方法(1)定
7、义法，即根据奇、偶函数的定义来判断(2)图象法，即利用奇、偶函数的对称性来判断；(3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断考点2函数奇偶性的简单应用基础性1若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)log2(x2)1，则f (6)()A2 B4 C2 D4C解析：根据题意得f (6)f (6)1log2(62)132.2(2019全国卷)设f (x)为奇函数，且当x0时，f (x)ex1，则当x0时，f (x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1D解析：当x0.因为当x0时，f (x)ex1，所以 f (x)ex1. 又因为 f (x)为奇
8、函数，所以f (x)f (x)ex1.3若函数f (x)xln(x)为偶函数，则a_.1解析：令g(x)ln(x)，若f (x)xg(x)为偶函数，则必有g(x)为奇函数，所以g(0)ln0，所以a1.经验证，a1满足题意应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f (x)的方程(组)，从而得到f (x)的解析式(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x)f (x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进
9、而得出参数的值考点3函数的周期性综合性(1)设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x4)f (x)当x0,2时，f (x)2xx2，则f (2 023)_.1解析：因为f (x4)f (x)，所以函数f (x)的周期T4. 又f (1)1，所以f (2 023)f (14506)f (1)f (1)1.(2)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数若对于x0，都有f (x2)，且当x0,2)时，f (x)log2(x1)，则f (2 019)f (2 021)的值为_0解析：当x0时，f (x2)，所以f (x4)f (x)，即4是f (x)(x0)的一个周期所以f (2
10、019)f (2 019)f (3)1，f (2 021)f (1)log221，所以f (2 019)f (2 021)0.1若本例(1)中的条件不变，则f (x)(x2,4)的解析式是_f (x)x26x8解析：当x2,0时，x0,2由已知得f (x)2(x)(x)22xx2.又f (x)是奇函数，所以f (x)f (x)2xx2. 所以f (x)x22x.又当x2,4时，x42,0，所以f (x4)(x4)22(x4)又f (x)是周期为4的周期函数，所以f (x)f (x4)(x4)22(x4)x26x8.故x2,4时，f (x)x26x8.2若将本例(2)中“f (x2)”变为“f
11、(x2)f (x)”，则f (2 019)f (2 021)_.0解析：由f (x2)f (x)可知T4，所以f (2 019)1，f (2 021)1，所以f (2 019)f (2 021)0.函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性1已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f (1)2，则f (2 021)()A2 B0 C2 D4C解析：因为函数f (x)的图象
12、关于原点对称，且周期为4，所以f (x)为奇函数，所以f (2 021)f (50541)f (1)f (1)2.故选C2设定义在R上的函数f (x)同时满足以下条件：f (x)f (x)0；f (x)f (x2)；当0x1时，f (x)2x1.则f f (1)f f (2)f _.1解析：依题意知函数f (x)为奇函数且周期为2，则f (1)f (1)0，f (1)f (1)，即f (1)0.所以f f (1)f f (2)f f 0f f (0)f f f f (0)f f f (0)212011.考点4函数性质的综合应用应用性考向1函数的奇偶性与单调性综合已知奇函数f (x)在R上是增函
13、数，g(x)xf (x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()AabcBcbaCbacDbclog25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，所以g(3)g(log25.1)g(20.8)，即cab.考向2函数奇偶性与周期性的综合定义在R上的偶函数f (x)满足f (x3)f (x)若f (2)1，f (7)a，则实数a的取值范围为()A(，3)B(3，)C(，1)D(1，)D解析：因为f (x3)f (x)，所以f (x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f (7)f (79)f (2)又因为函数f (x)是偶函数，所以f
14、 (2)f (2)，所以f (7)f (2)1，所以a1，即a(1，)故选D考向3函数单调性、奇偶性与周期性的综合定义在R上的偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，且在1,0上单调递减设af (2.8)，bf (1.6)，cf (0.5)，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbcaDacbD解析：因为偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，所以函数f (x)的周期为2.所以af (2.8)f (0.8)，bf (1.6)f (0.4)f (0.4)，c f (0.5)f (0.5)因为0.80.5cb.故选D解决函数的周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解1设f (x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f (x)2x(1x)，则f _.解析：由题意可知，f f f 2.2已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf (x)，则实数x的取值范围是_(3,2)解析：因为g(x)是奇函数，所以当x0时，g(x)g(x)ln(1x)易知f (x)在R上是增函数，由f (6x2)f (x)，可得6x2x，即x2x60，所以3x2.
