1、 高三年级 数学（理科）试卷一、填空题：本题满分56分，每小题4分1. 的展开式中，的系数为 2.已知集合，则用列举法表示集合 3.若，则 4.函数的反函数是 5.在极坐标系中，已知点和，则 6.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 7.在复平面上，已知复数与的对应点关于直线对称，且满足，则 8.设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 9.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 10.已知随机变量的取值为0,1,2，若，则 11.已知
2、函数，若对任意均有，则的值等于 12.如图所示，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体切去四个角后得到，类比这种分法，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，则此四面体的体积为 13.已知等差数列的公差，且，若时，则数列的前项和为取得最小值时的值为 14.已知为单位圆上的弦，为单位圆上的点，若的最小值为（其中），单位圆上的运动时，的最大值为，则的值为 二、选择题 （本题满分20分，每小题5分.） 15.已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A若垂直于同一平面，则与平行B若平行于同一平面，则与平行C若不平行，则在内不存在与平行的直线D若不平行，则与
3、不可能垂直于同一平面16.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为（ ）A B C D17.“”是“函数在区间上递增”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件18.已知数列满足，其首项，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）A B C D三、解答题（本题满分74分）19. （本小题满分12分）如图所示，长方体，底面是边长为的正方形，为中点.（1）求四棱锥的体积；（2）若点在正方形内（包括边界），且三棱锥体积是四棱锥体积的，请指出满足要求的点的轨迹，并在图中画出轨迹图形.20. （本小题满分14分）已知函数，若函数的图象与函数的图象关
4、于轴对称.（1）求函数的解析式；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.21. （本小题满分14分）某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线是以点的圆心的圆的一部分，其中，是圆的切线，且，曲线是抛物线（）的一部分，且恰好等于圆的半径.（1）若米，米，求与的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.22.（本小题满分16分）定义：直线关于圆的圆心距单位圆心到直线的距离与圆的半径之比.（1）设圆，求过点的直线关于圆的圆心距单位的直线方程.（2）若圆与轴相切于点，且直线关于圆的圆心距单位，求此圆的方程.（3）是否存在点，使过点的任意两条互相垂直的直线分别关于
5、相应两圆与的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的点坐标；若不存在，请说明理由.23（本小题满分18分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：；.（1）若等比数列为阶“期待数列”（ ），求公比；（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列（ ），求该数列的通项公式；（3）记阶“期待数列” 的前项和为.参考答案一、 填空题1.10 2. 3.4 4. 5. 6. 7.3 8. 9.96 10. 11 12.213.10 14. 二、选择题15D 16C 17C 18D三、解答题19解：（1）.（2）设点到的距离为，因为点到平面的距离为1，所以，所以，满足要求的点的轨迹是中点和中点的
6、连线段.20解：（1）设函数图象上任意一点，则点关于轴对称的点的坐标为，即在上有解，所以.21解：（1）因为圆的半径为，所以，令，得圆，令，得，所以，即，又，得.（2）由题意得：对恒成立，所以恒成立，当，即时，所以，解得.22解：（1）因为圆的半径为1，所以圆心距单位等价于圆心到直线的距离等于，设直线方程为，则，解得，所以所求直线方程为.（2）设所求圆方程为或，又直线关于圆的圆心距单位，所以圆心到直线的距离为，即，解得或，所以圆方程为或.（3）解法1：设存在点，过点的任意两条直线为和，由，得，则恒成立或者恒成立，即或，求得和.解法2：当圆心距单位时，两互相垂直的直线分别过圆心，交换两直线，则由圆心距单位相等可得，设，则有，即解得或当时，设直线，即，所以直线关于圆的圆心距单位为，此时直线，即，所以直线关于圆的圆心距单位为，同理可验证也满足条件.23解：（1）若，由得：，得，不合题意，舍去；若，由得：，得，由得：或.（2）设等差数列的公差是，因为，所以，因为，所以，则，两式相减得，即，又，得，（3）记中非负项和为，负项和为，则，得，因为，所以.若存在，使，则，且，若数列是阶“期待数列”，记的前项和为，则，因为，所以，所以，又因为，则，所以所以与不能同时成立，即数列不能为阶“期待数列”.
