1、上海市延安中学2013学年度第一学期期中考试(高二数学)(考试时间:90分钟满分:100分)班级_姓名_学号_成绩_一、填空题(本大题共39分,每小题3分)1、计算行列式:=_.2、若,则=_.3、若,则=_.4、=_.5、已知矩阵,则=_.6、已知,又,则实数=_.7、行列式中第行第列元素的代数余子式的值为,则实数=_.8、如图是一个算法的流程图,则最后输出的=_.9、设,则=_.10、设为单位向量,且的夹角为,若,则向量在方向上的投影为_.11、向量在正方形网格中的位置如图所示,若,则=_. 12、已知的面积为1,在所在平面内有两点,满足,则四边形的面积为_.13、设阶方阵,任取中的一个元
2、素,记为;划去所在的行和列,将剩下的元素按原来的位置关系组成阶方阵,任取中的一个元素,记为;划去所在的行和列,;最后剩下一个元素记为,记,则=_.二、选择题(本大题共12分,每小题3分)14、已知点,则与平行的单位向量的坐标为( )(A)(B)(C)和(D)和和和15、方程组的增广矩阵是( )(A) (B) (C)(D)16、无穷等比数列的各项和为,若数列满足,则数列的各项和为( )(A) (B) (C)(D)17、设是已知平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:给定向量,一定存在向量,使;给定向量和,一定存在实数和,使;给定单位向量和正数,一定存在单位向量和实数,使得;给定正数和,一定存
3、在单位向量和单位向量,使;上述命题中向量在同一平面内且两两不平行,则真命题个数是( )(A)1 (B)2 (C)3(D)4三、简答题(本大题共49分)18、(本题6分)解关于的方程组,并对解的情况进行讨论.19、(本题7分)设数列的前项和为,对任意的,向量,(是常数,)都满足,求.20、(本题9分,第1小题4分,第2小题5分)在中,是边上一点,.(1)求证:;(2)若,求的值.21、(本题13分,第1小题4分,第2小题4分,第3小题5分)设数列的前项和为,已知,.(1)求证:数列为等差数列,并求出其通项公式;(2)若,求正整数的值;(3)是否存在正整数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明
4、理由.22、(本题14分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题4分)在直角坐标平面上的一列点,简记为.若由构成的数列满足,其中为方向与轴正方向相同的单位向量,则称为点列.(1)判断,是否为点列,并说明理由;(2)若为点列,且点在点的右下方,证明任取其中连续三点、,一定能构成钝角三角形;(3)若为点列,且对于任意,都有,那么数列是否一定存在极限?若是,请说明理由;若不是,请举例说明. 上海市延安中学2013学年度第一学期期中考试(高二数学)(考试时间:90分钟满分:100分)班级_姓名_学号_成绩_一、填空题(本大题共39分,每小题3分)1、计算行列式:=_.2、若,则=_.3、若,则=_.4、
5、=_.5、已知矩阵,则=_.6、已知,又,则实数=_.7、行列式中第行第列元素的代数余子式的值为,则实数=_.8、如图是一个算法的流程图,则最后输出的=_.9、设,则=_.10、设为单位向量,且的夹角为,若,则向量在方向上的投影为_.11、向量在正方形网格中的位置如图所示,若,则=_.12、已知的面积为1,在所在平面内有两点,满足,则四边形的面积为_.13、设阶方阵,任取中的一个元素,记为;划去所在的行和列,将剩下的元素按原来的位置关系组成阶方阵,任取中的一个元素,记为;划去所在的行和列,;最后剩下一个元素记为,记,则=_.提示:从而二、选择题(本大题共12分,每小题3分)14、已知点,则与平
6、行的单位向量的坐标为( C )(A)(B)(C)和(D)和和和15、方程组的增广矩阵是( D )(A) (B) (C)(D)16、无穷等比数列的各项和为,若数列满足,则数列的各项和为( A )(A) (B) (C)(D)17、设是已知平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:给定向量,一定存在向量,使;给定向量和,一定存在实数和,使;给定单位向量和正数,一定存在单位向量和实数,使得;给定正数和,一定存在单位向量和单位向量,使;上述命题中向量在同一平面内且两两不平行,则真命题个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3(D)4提示:为真命题三、简答题(本大题共49分)18、(本题6分)解关于的
7、方程组,并对解的情况进行讨论.,当且,即,方程组有唯一解;当,即,方程组有无穷多解,;当,即,方程组无解.19、(本题7分)设数列的前项和为,对任意的,向量,(是常数,)都满足,求.,即当时,;当时,.20、(本题9分,第1小题4分,第2小题5分)在中,是边上一点,.(1)求证:;(2)若,求的值.(1)设,则由已知得,从而,且,可得(2)由,则21、(本题13分,第1小题4分,第2小题4分,第3小题5分)设数列的前项和为,已知,.(1)求证:数列为等差数列,并求出其通项公式;(2)若,求正整数的值;(3)是否存在正整数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(1),从而为以1为首项,
8、4为公差的等差数列. (2),从而(3),从而从而.22、(本题14分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题4分)在直角坐标平面上的一列点,简记为.若由构成的数列满足,其中为方向与轴正方向相同的单位向量,则称为点列.(1)判断,是否为点列,并说明理由;(2)若为点列,且点在点的右下方,证明任取其中连续三点、,一定能构成钝角三角形;(3)若为点列,且对于任意,都有,那么数列是否一定存在极限?若是,请说明理由;若不是,请举例说明. 由已知,则.(1),则,从而为点列.(2),又由点在点的右下方,可知.又, 由于为点列,故有,从而,即为钝角,得证.(3)不是.反例:,则,满足为点列,而显然极限不存在.