1、上海市延安中学2013学年度第一学期期中考试（高二数学）（考试时间：90分钟满分：100分）班级_姓名_学号_成绩_一、填空题（本大题共39分，每小题3分）1、计算行列式：=_.2、若，则=_.3、若，则=_.4、=_.5、已知矩阵，则=_.6、已知，又，则实数=_.7、行列式中第行第列元素的代数余子式的值为，则实数=_.8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的=_.9、设，则=_.10、设为单位向量，且的夹角为，若，则向量在方向上的投影为_.11、向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则=_. 12、已知的面积为1，在所在平面内有两点，满足，则四边形的面积为_.13、设阶方阵，任取中的一个元
2、素，记为；划去所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成阶方阵，任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，；最后剩下一个元素记为，记，则=_.二、选择题（本大题共12分，每小题3分）14、已知点，则与平行的单位向量的坐标为（ ）（A）（B）（C）和（D）和和和15、方程组的增广矩阵是（ ）（A） （B） （C）（D）16、无穷等比数列的各项和为，若数列满足，则数列的各项和为（ ）（A） （B） （C）（D）17、设是已知平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：给定向量，一定存在向量，使；给定向量和，一定存在实数和，使；给定单位向量和正数，一定存在单位向量和实数，使得；给定正数和，一定存
3、在单位向量和单位向量，使；上述命题中向量在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3（D）4三、简答题（本大题共49分）18、（本题6分）解关于的方程组，并对解的情况进行讨论.19、（本题7分）设数列的前项和为，对任意的，向量，（是常数，）都满足，求.20、（本题9分，第1小题4分，第2小题5分）在中，是边上一点，.（1）求证：；（2）若，求的值.21、（本题13分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题5分）设数列的前项和为，已知，.（1）求证：数列为等差数列，并求出其通项公式；（2）若，求正整数的值；（3）是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明
4、理由.22、（本题14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）在直角坐标平面上的一列点，简记为.若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列.（1）判断，是否为点列，并说明理由；（2）若为点列，且点在点的右下方，证明任取其中连续三点、，一定能构成钝角三角形；（3）若为点列，且对于任意，都有，那么数列是否一定存在极限？若是，请说明理由；若不是，请举例说明. 上海市延安中学2013学年度第一学期期中考试（高二数学）（考试时间：90分钟满分：100分）班级_姓名_学号_成绩_一、填空题（本大题共39分，每小题3分）1、计算行列式：=_.2、若，则=_.3、若，则=_.4、
5、=_.5、已知矩阵，则=_.6、已知，又，则实数=_.7、行列式中第行第列元素的代数余子式的值为，则实数=_.8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的=_.9、设，则=_.10、设为单位向量，且的夹角为，若，则向量在方向上的投影为_.11、向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则=_.12、已知的面积为1，在所在平面内有两点，满足，则四边形的面积为_.13、设阶方阵，任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成阶方阵，任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，；最后剩下一个元素记为，记，则=_.提示：从而二、选择题（本大题共12分，每小题3分）14、已知点，则与平
6、行的单位向量的坐标为（ C ）（A）（B）（C）和（D）和和和15、方程组的增广矩阵是（ D ）（A） （B） （C）（D）16、无穷等比数列的各项和为，若数列满足，则数列的各项和为（ A ）（A） （B） （C）（D）17、设是已知平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：给定向量，一定存在向量，使；给定向量和，一定存在实数和，使；给定单位向量和正数，一定存在单位向量和实数，使得；给定正数和，一定存在单位向量和单位向量，使；上述命题中向量在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（ B ）（A）1 （B）2 （C）3（D）4提示：为真命题三、简答题（本大题共49分）18、（本题6分）解关于的
7、方程组，并对解的情况进行讨论.，当且，即，方程组有唯一解；当，即，方程组有无穷多解，；当，即，方程组无解.19、（本题7分）设数列的前项和为，对任意的，向量，（是常数，）都满足，求.，即当时，；当时，.20、（本题9分，第1小题4分，第2小题5分）在中，是边上一点，.（1）求证：；（2）若，求的值.（1）设，则由已知得，从而，且，可得（2）由，则21、（本题13分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题5分）设数列的前项和为，已知，.（1）求证：数列为等差数列，并求出其通项公式；（2）若，求正整数的值；（3）是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1），从而为以1为首项，
8、4为公差的等差数列. （2），从而（3），从而从而.22、（本题14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）在直角坐标平面上的一列点，简记为.若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列.（1）判断，是否为点列，并说明理由；（2）若为点列，且点在点的右下方，证明任取其中连续三点、，一定能构成钝角三角形；（3）若为点列，且对于任意，都有，那么数列是否一定存在极限？若是，请说明理由；若不是，请举例说明. 由已知，则.（1），则，从而为点列.（2），又由点在点的右下方，可知.又， 由于为点列，故有，从而，即为钝角，得证.（3）不是.反例：，则，满足为点列，而显然极限不存在.