1、4.2 指数函数4.2.1指数函数的概念 情境导入 上一章我们学习了函数的概念和基本性质，并通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法。今天，我们继续来研究另一类很重要的基本初等函数指数函数。首先我们来看几个情境实例。情 境 1 Q1:请同学们观察细胞分裂示意图，完成两个空格的填写。分裂 次数 0次 1次 2次 3次 4次 次 细胞 总数 1个 2个 4个 8个 情境导入 20 21 22 23 24 16个 2 分裂 次数 0次 1次 2次 3次 4次 次 细胞 总数 1个 2个 4个 8个 20 21 22 23 24 16个 2 Q2:若细胞总数记为，细胞分裂次数记为，那么
2、试写出细胞总数与分裂次数间的关系式。情境导入 =()分裂 次数 0次 1次 2次 3次 4次 次 细胞 总数 1个 2个 4个 8个 20 21 22 23 24 16个 2 细胞分裂的时候每次的增长率都是2，是一个常数。像这样，增长率为常数的变化方式，我们称之为指数增长。情境导入 新知探索 情 境 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。死亡年数 1年 2年 3年 5730年 年 碳14含量 Q1:该情境中有何变量关系？Q2:将衰减率设为 ，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格。(
3、)()()()()新知探索 死亡年数 1年 2年 3年 5730年 年 碳14含量()()()()()Q3:若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式。=()(,+)新知探索 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半，即(1 )5730=12，那么1 =125730=()15730，=1 ()15730，则(1 )=1 (1 ()15730)=(12)15730)(0,+)
4、.=()(0,+)=()(0,+)新知探索 死亡年数 1年 2年 3年 5730年 年 碳14含量()()()()()生物体内碳14的含量每年都以1 ()15730的衰减率衰减。像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减。=()=()(0,+)概念生成 思考1:请同学类比于幂函数概念，说出这两个式子有什么特征？你能否用一个式子反映这些特征？=（指数为自变量，底数为常数）Q1:在=中，对有要求吗？Q2:那对有要求吗？若=0，则 0时，无意义；若 0且 1.=（指数为自变量，底数为常数）概念生成 概念生成 一般地，函数=(0且 1)叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是.注：(1)指数函
5、数的定义域是实数集；(2)自变量是指数，且指数位置只能有这一项；(3)底数只能有一项，且其系数必须为1；(4)底数的范围是 0且 1.例析&练习 例1.给出下列函数：=2 3；=31+；=3；=3;=(2).其中，指数函数的个数是（）.A.0 B.1 C.2 D.4答案：B.变1.若函数=(2 3+3)是指数函数，则=_.答案：2.题型一：指数函数的概念 例析&练习 例2.已知指数函数()=(0且 1)，且(3)=，求(0)，(1)，(3)的值.解：()=且(3)=(3)=3=.=13，即()=(13)=3.(0)=03=1；(1)=13=3；(3)=33=1=1.题型二：指数函数的解析式及应
6、用 例析&练习 例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：（1）写出两城市的人口总数（万人）与年份（年）的函数解析式；解（1）：年后甲城市人口总数为=(+.%).年后乙城市人口总数为=+.题型三：指数函数的实际应用 例析&练习 例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：（2）计算10年、20年、30年后两城市的人口总数（精确到0.1万人）；解(2)：10年后 20年后 30年后 甲 112.7 126.9 143.0 乙 113 1
7、26 139 解(3)：甲乙两城市人口都逐年增长，其中甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型；乙城市人口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.例析&练习 例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：（3）试对两城市人口增长情况做出分析。例析&练习 实际应用问题中指数函数模型的类型（1）指数增长模型 设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则：=(1+)().（2）指数减少模型 设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到，则：=(1 )().（3）指数型函数 把形如=(0，0，且 1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的 函数模型.活动：请同学们尝试说出几个生活中的指数函数模型的例子.例析&练习 课堂小结 小结：(1)指数函数的概念：一般地，函数=(0且 1)叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是.(2)指数函数需要注意的几个点：指数函数的定义域是实数集；自变量是指数，且指数位置只能有这一项；底数只能有一项，且其系数必须为1；底数的范围是 0且 1.(3)幂函数与指数函数的区别 作业：(1)复习本节课的内容并预习好下一节内容；(2)课本P115 的练习1、2、3题（第3题写出函数解析式即可）.作业