1、第28讲正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C2R常见变形cos A；cos B；cos C(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Ab
2、sin Aabab解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高).(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sincos；(4)cossin.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin Bcos Acos B. 考点1 利用正、余弦定理解三角形名师点睛(1)
3、正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.典例 1.(2021新高考卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2ac，点D在边AC上，BDsin ABCasin C.(1)证明：BDb.(2)若AD2DC，求cos ABC.2（2022全国高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最
4、小值举一反三1（2022上海模拟预测）如图，在中，已知，D是边上的一点，则的长为（）ABCD2（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是_3（2022山东日照三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则_4（2022江苏江苏一模）在中，角的对边分别为.若，则的最小值是_.5（2022全国高考真题（理）记的内角的对边分别为，已知(1)证明：；(2)若，求的周长 考点2 判断三角形的形状名师点睛1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间
5、的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.典例1（2022浙江高三专题练习）的内角，的对边分别为，已知，则的形状一定是（）A等腰三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形2（2022全国高三专题练习）在中，角、所对的边分别为、若，则的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D不确定举一反三1（2022江苏南通模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，则（）A能制作一个锐角三角形B能制作一个直角三角形C能制作一个钝角三角
6、形D不能制作这样的三角形2（2022全国高三专题练习）在中，角所对的边分别是，且，则的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形3（2022浙江高三专题练习）若满足，且，则的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或直角三角形4（2022浙江高三专题练习）已知内角，所对的边分别为，面积为.若，则的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形5（2022湖南长沙一中高三开学考试）中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.(1)求内角B的大小；(2)已知 的面积为，请判定的形状，并说明理由. 考点3 和三角形面积有关的问题名
7、师点睛与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.典例1（2022全国高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知(1)求的面积；(2)若，求b2（2022福建三明一中模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)求角A；(2)若M为的中点，求面积的最大值举一反三1（2022江苏南京市第五高级中学模拟预测）在中，为的中点，则面积的最大值为_.2（2022浙江高考真题）在中，角A
8、，B，C所对的边分别为a，b，c已知(1)求的值；(2)若，求的面积3（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，且(1)若，求的值；(2)若AM为的平分线，且，求的面积4（2022广东大埔县虎山中学模拟预测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(1)求角C；(2)若的面积，且，求的周长5（2022江苏南通模拟预测）在ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，(1)求cosB；(2)若b3，ac，ABC的面积为，求a第28讲正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定
9、理公式a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C2R常见变形cos A；cos B；cos C(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高).(2)Sabsin Cacsi
10、n Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sincos；(4)cossin.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin Bcos A0，所以BDb.(2)解法一如图所示，过点D作DEBC交AB于E，因为AD2DC，所以2，所以BE，DEa.在BDE中，cosBED.在ABC中，cosABC.因为BEDABC，所以cosBEDc
11、os ABC，所以，化简得3c26a211ac0，方程两边同时除以a2，得31160，解得或3.当，即ca时，cos ABC；当3，即c3a时，cos ABC1(舍).综上，cos ABC.法二因为2，所以，所以222.因为BDb，所以b2a2accosABCc2，所以9b24a24accosABCc2.又b2aca2c22accosABC，所以，得8ac3a26accosABC，所以cosABC.由知所以11，所以61130，解得或.当时，cosABC；当时，cosABC(不合题意，舍去).所以cosABC.2（2022全国高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求
12、B；(2)求的最小值【解】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，所以，而，所以，即有，所以所以当且仅当时取等号，所以的最小值为举一反三1（2022上海模拟预测）如图，在中，已知，D是边上的一点，则的长为（）ABCD【答案】D【解析】在中，由余弦定理得：，因为，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得：故选：D2（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是_【答案】【分析】因为，由正弦定理得，由余弦定理得，而,所以，因为，由正弦定理知，所以，因为在锐角中，有，得，所以，此时，则，故答案为：3（2022山东日照三模）在中，角A
13、，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则_【答案】【分析】解：由成等比数列，得，又所以，所以.故答案为：4（2022江苏江苏一模）在中，角的对边分别为.若，则的最小值是_.【答案】【分析】解：由余弦定理得，又，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，所以的最小值是，故答案为：.5（2022全国高考真题（理）记的内角的对边分别为，已知(1)证明：；(2)若，求的周长【解】(1)证明：因为，所以，所以，即，所以；(2)解：因为，由（1）得，由余弦定理可得， 则，所以，故，所以，所以的周长为. 考点2 判断三角形的形状名师点睛1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的
14、关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.典例1（2022浙江高三专题练习）的内角，的对边分别为，已知，则的形状一定是（）A等腰三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形【答案】A【分析】由正弦定理，得，又在中，所以，所以，即，故的形状一定是等腰三角形，故选：A2（2022全国高三专题练习）在中，角、所对的边分别为、若，则的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D不确定【答案】C【分析】在中，原等式
15、化为：，由正弦定理得，即，由余弦定理得：，整理得，则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C举一反三1（2022江苏南通模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，则（）A能制作一个锐角三角形B能制作一个直角三角形C能制作一个钝角三角形D不能制作这样的三角形【答案】C【分析】由向量关系与余弦定理列方程求解三条边长后判断【详解】设三角形的三条边为a，b，c，设中点为D，则，同理，可以构成三角形，为钝角三角形，故选：C2（2022全国高三专题练习）在中，角所对的边分别是，且，则的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D
16、等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】首先利用正弦定理边化角公式得到，即可得到答案.【详解】因为，所以，即，整理得到，因为，所以，即，为等腰三角形.故选：A3（2022浙江高三专题练习）若满足，且，则的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或直角三角形【答案】B【分析】由正弦定理可得，结合，可得，即，分析即得解【详解】由正弦定理，以及，可得代入，可得故故为直角三角形故选：B4（2022浙江高三专题练习）已知内角，所对的边分别为，面积为.若，则的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【答案】C【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的
17、正弦公式化简已知条件，可求角，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角，再由三角形的内角和求角，即可判断的形状，进而可得正确选项.【详解】因为，所以，即，由正弦定理可得：，因为，所以，因为，所以，所以，可得，所以，解得，因为，所以，即，所以，可得，所以，所以的形状是正三角形，故选：C.5（2022湖南长沙一中高三开学考试）中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.(1)求内角B的大小；(2)已知 的面积为，请判定的形状，并说明理由.解：（1）因为，由正弦定理可得，又由，可得，因为，可得，所以，即，又因为，可得.（2）因为的面积为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，故为直角三角形
18、. 考点3 和三角形面积有关的问题名师点睛与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.典例1（2022全国高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知(1)求的面积；(2)若，求b解：（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.2（2022福建三明一中模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)求角A；(2)若M为的中点，求面
19、积的最大值解：(1)解法一：因为，由正弦定理得：，所以，因为，所以，为，所以解法二：因为，由余弦定理得：，整理得，即，又由余弦定理得所以，因为，所以(2)解法一：因为M为的中点，所以，所以，即，即，而，所以即，当且仅当时等号成立所以的面积为即的面积的最大值为解法二：设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以所以+式得在中，由余弦定理得，而，所以，联立得：，即，而，所以，即，当且仅当时等号成立所以的面积为即的面积的最大值为举一反三1（2022江苏南京市第五高级中学模拟预测）在中，为的中点，则面积的最大值为_.【答案】【分析】首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等
20、式即可求得面积的最大值【详解】设，由于，在和中应用余弦定理可得：，整理可得：，结合勾股定理可得的面积：，当且仅当 时等号成立则面积的最大值为故答案为：2（2022浙江高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知(1)求的值；(2)若，求的面积解：(1)由于， ，则因为，由正弦定理知，则(2)因为，由余弦定理，得，即，解得，而，所以的面积3（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，且(1)若，求的值；(2)若AM为的平分线，且，求的面积解：（1）因为，,所以，因为，所以由正弦定理知，即，因为，所以，在中，（2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或因为，所以，因为AM为的平分线，所以（h为底边BC的高）所以，故，而由（1）知，所以4（2022广东大埔县虎山中学模拟预测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(1)求角C；(2)若的面积，且，求的周长解：(1)因为，由余弦定理，得到，又，所以；(2)因为的面积，且，所以有，联立，则，所以的周长为5（2022江苏南通模拟预测）在ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，(1)求cosB；(2)若b3，ac，ABC的面积为，求a解：(1)因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，可得.(2)，可得在ABC中，由余弦定理得，a，c可看作一元二次方程的两不等实根，
