1、第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题1.(2021全国乙,文20)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.解:(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y2=4x.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).又F(1,0),则PQ=(x2-x1,y2-y1),QF=(1-x2,-y2).因为PQ=9QF,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,得x1=10x2-9,y1=10y2.又因为点P在抛物线C上,所以y12=4x1,所以(10y
2、2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=25x-925.易知直线OQ的斜率存在.设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由y=kx,y2=25x-925,得k2x2=25x-925,即k2x2-25x+925=0,(*)当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,方程(*)的判别式=0,即-252-4k2925=0,解得k=13,所以直线OQ斜率的最大值为13.2.(2021浙江温州模拟,21)已知抛物线E:x2=4y与椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)具有相同的焦点,且椭圆的离心率为12,过椭圆C上顶点的直线l交抛物线
3、E于A,B两点,分别以A,B为切点作抛物线E的切线l1,l2相交于点M.(1)求椭圆C的方程;(2)求MAB面积的最小值.解:(1)由抛物线E:x2=4y,得其焦点坐标为(0,1),故椭圆的焦点也为(0,1),c=1,由椭圆的离心率为e=ca=12,得a=2,b=3,椭圆C的方程为y24+x23=1.(2)由(1)可知,椭圆的上顶点的坐标为(0,2),设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因为抛物线E:x2=4y,所以y=x2,所以kAM=x12,kBM=x22,得lAM:y-y1=x12(x-x1),lBM:y-y2=x22(x-x2),M(x0,y0)同时在直线lAM,l
4、BM上,所以y0-y1=x12(x0-x1),y0-y2=x22(x0-x2),所以直线AB的方程为y0-y=x2(x0-x),化简可得x0x=2(y+y0),又直线AB经过椭圆的上顶点,所以y0=-2,所以直线AB的方程为x0x=2(y-2),联立方程x0x=2(y-2),x2=4y,可得x0x=2x24-2,x2-2x0x-8=0,=4x02+320恒成立.|AB|=1+x0244x02+32,M到直线AB的距离d=|x02-2y0+4|x02+4=x02+8x02+4,S=121+x0244x02+32x02+8x02+4=12(x02+8)382,故MAB面积的最小值为82.3.(20
5、21河南郑州三模,理20)已知抛物线C:x2=4y和圆E:x2+(y+1)2=1,过抛物线上一点P(x0,y0)作圆E的两条切线,分别与x轴交于A,B两点.(1)若切线PB与抛物线C也相切,求直线PB的斜率;(2)若y02,求PAB面积的最小值.解:(1)设切线PB的方程为y=kx+m,代入抛物线的方程得x2-4kx-4m=0,由相切的条件可得=16k2+16m=0,即k2+m=0,由直线与圆相切可得圆心到直线的距离d=|m+1|1+k2=1,即k2=m2+2m,所以m2+3m=0,m=-3或m=0(舍去),k2=3,k=3.(2)因为y02,所以切线PA,PB的斜率一定存在.设圆E的切线方程
6、为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,圆心到直线的距离d=|1+y0-kx0|1+k2=1,整理得(x02-1)k2-(2x0y0+2x0)k+y02+2y0=0,设PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=2x0y0+2x0x02-1,k1k2=y02+2y0x02-1,令y=0,得xA=x0-y0k1,xB=x0-y0k2,|AB|=x0-y0k1-x0-y0k2=k1-k2k1k2y0=4(y02+6y0)y02+2y0y0=2y02+6y0y0+2,SPAB=12|AB|y0=122y02+6y0y0+2y0=(y02+6y0)y02(y0+2)2,令f(y)
7、=(y2+6y)y2(y+2)2,因为y2,所以f(y)=2y2(y2+7y+18)(y+2)30,f(y)在2,+)上单调递增,所以f(y)min=f(2)=4.所以SPAB的最小值为2.4.(2021黑龙江哈尔滨三中一模,文20)已知平面内的两个定点F1,F2,|F1F2|=23,平面内的动点M满足|MF1|+|MF2|=4.记M的轨迹为曲线E.(1)请建立适当的平面直角坐标系,求E的方程;(2)过F2作直线l交曲线E于A,B两点,若点O是线段F1F2的中点,点C满足OC=-32OA,求ABC面积的最大值,并求出此时直线l的方程.解:(1)M满足|MF1|+|MF2|=4|F1F2|,由椭
8、圆的定义知动点M的轨迹为椭圆,以F1F2的中点为原点,直线F1F2为x轴,以过F1F2的中点且垂直于F1F2的直线为y轴建立平面直角坐标系,由题意,得2c=23,2a=4,所以b2=a2-c2=1,故E的方程为x24+y2=1.(2)因为F2(3,0),设直线l:x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x24+y2=1,x=my+3,消去x,整理得(m2+4)y2+23my-1=0,由于=16(m2+1)0恒成立,则有y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4,|AB|=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=4(m2+1)m2+4,点O到直线l的
9、距离d=31+m2.则SAOB=12|AB|d=231+m2m2+4=231+m2+31+m21,当且仅当1+m2=31+m2,即m=2时取等号,又由于OC=-32OA,知SABC=52SAOB52,此时直线l的方程为x=2y+3,即x+2y-3=0,或x-2y-3=0.5.已知椭圆E:x2t+y23=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解:(1)当t=4时,E的方程为x24+y23=1,A(-2,0).直线AM的方程为y=k(x+2
10、),代入椭圆方程,消去y,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,解得x=-2或x=-8k2-63+4k2,则|AM|=1+k22-8k2-63+4k2=1+k2123+4k2,由MANA,直线NA的斜率为-1k(k0),所以|AN|=1+1k2123+4k2=1+k212k3k2+4,由|AM|=|AN|,得1+k2123+4k2=1+k212k3k2+4,所以13+4k2=k3k2+4,即4k3-3k2+3k-4=0,整理可得(k-1)(4k2+k+4)=0,由4k2+k+40可得k=1,即有AMN的面积为12|AM|2=121+1123+42=14449.(2)由题意
11、t3,k0,A(-t,0).将直线AM的方程y=k(x+t)代入x2t+y23=1,消去y,整理得(3+tk2)x2+2ttk2x+t2k2-3t=0.由x1(-t)=t2k2-3t3+tk2得x1=t(3-tk2)3+tk2,故|AM|=|x1+t|1+k2=6t(1+k2)3+tk2.由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+t),故同理可得|AN|=6kt(1+k2)3k2+t.由2|AM|=|AN|得23+tk2=k3k2+t,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=32时上式不成立,因此t=3k(2k-1)k3-2.t3等价于k3-2k2+k-2k3-2=(k-2)(k2+1)k3-
12、20,即k-2k3-20,k3-20或k-20,解得32kb0)的长轴长为22,以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点.(1)求C的方程;(2)P是C外的一点,过P的直线l1,l2均与C相切,且l1,l2的斜率之积为m-1m-12,记u为|PO|的最小值,求u的取值范围.解:(1)由题意,2a=22,a=2.又以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点,即b=c,又b2+c2=a2=2,b=c=1,C的方程为x22+y2=1.(2)由题意,l1,l2的斜率存在且不为零,设过点P(x0,y0)的切线l:y-y0=k(x-x0),由方程组y-y0=k(x-x0),x22+y2=1,消去y,整理
13、得(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-2=0,l与C相切,=16k2(y0-kx0)2-8(1+2k2)(y0-kx0)2-1=0,化简并整理,得(y0-kx0)2=2k2+1,整理成关于k的一元二次方程得(x02-2)k2-2x0y0k+y02-1=0(易知x02).设l1,l2的斜率分别为k1,k2,易知k1,k2为方程(x02-2)k2-2x0y0k+y02-1=0的两根,k1k2=y02-1x02-2=m,y02=mx02+1-2m,x02+y02=(1+m)x02+1-2m,|PO|=x02+y02=(1+m)x02+1-2m,-1m-12,当x0=0时,有u=|PO|min=1-2m.又-1m-12,2u3,即u的取值范围为2,3.
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